Projections vectorielles

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Projections vectorielles

Messagepar Tunaki » Lundi 10 Décembre 2007, 19:57

Bonjour!

Soient $E_1$ et $E_2$ deux ssev de $E$ tel que $E=E_1\oplus E_2$. Tout vecteur de $E$ s'écrit donc de manière unique $u=u_1+u_2$ telle que $u_1\in E_1$ et $u_2\in E_2$. L'application $\pi$ de $E$ dans $E$ telle que $\pi(u)=u_1$ est la projection vectorielle sur $E_1$ parallèlement à $E_2$.

On a montré que $\pi\circ\pi=\pi$ et que $\pi\in\mathcal{L}(E)$.
Maintenant, il faut calculer $\text{Im}\pi$ et $\text{ker}\pi$.

Soit $u\in\text{ker}\pi$. Alors $\pi(u)=0$ donc $u_1=0$. Donc $\text{ker}\pi=E_2$.
Soit $u\in\text{Im}\pi$. Alors $u=\pi(v)$ avec $v=v_1+v_2$ tel que $v\in E$, $v_1\in E_1$ et $v_2\in E_2$. Donc $\pi(v)=v_1=u$. Donc $\text{Im}\pi=E_1$

Est-ce que cela va niveau rédaction ?

Après, on considère $E=\R^3$. Soit $D$ la droite dirigée par le vecteur $\vect{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $P$ le plan vectoriel d'équation $x+y-2z=0$. Il faut montrer que $E=D\oplus P$

Il est facile de montrer que $P$ et $D$ sont des ssev et que leur intersection est réduite au vecteur nul. Par contre j'ai un souci pour la somme.
J'essaie d'écrire $u\in\R^3$ comme somme deux deux vecteurs dans $P$ et $D$.

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\0\\-\lambda\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que $\lambda,a,b,c\in R$
Il vient facilement $b=y$

Pour les autres, je trouve $\lambda=\dfrac{x+y-2z}{3}$, $a=x-\lambda$ et $c=x-\lambda$ (je n'ai pas encore remplacé). Je me demande si ceci est juste car ça me semble bizarre.
Pouvez-vous m'aider ?
Tunaki
Giga-utilisateur
 
Messages: 660
Inscription: Mardi 12 Décembre 2006, 18:03
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Publicité

Re: Projections vectorielles

Messagepar dark_forest » Lundi 10 Décembre 2007, 20:27

Oui ton calcul me parait bizzare également, mais pourquoi ne pas calculer la dimension de $P+D$ ?
dark_forest
Méga-utilisateur
 
Messages: 439
Inscription: Mardi 23 Octobre 2007, 22:02
Statut actuel: Post-bac | Préparation Agrégation

Re: Projections vectorielles

Messagepar Arnaud » Lundi 10 Décembre 2007, 20:29

Tunaki a écrit:Soit $u\in\text{ker}\pi$. Alors $\pi(u)=0$ donc $u_1=0$. Donc $\text{ker}\pi=E_2$.


Avec ce que tu dis, il n'y a pas égalité, mais juste inclusion ( l'autre inclusion est assez évidente ).

Tunaki a écrit:Soit $u\in\text{Im}\pi$. Alors $u=\pi(v)$ avec $v=v_1+v_2$ tel que $v\in E$, $v_1\in E_1$ et $v_2\in E_2$. Donc $\pi(v)=v_1=u$. Donc $\text{Im}\pi=E_1$


Pareil.

Tunaki a écrit:Après, on considère $E=\R^3$. Soit $D$ la droite dirigée par le vecteur $\vect{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $P$ le plan vectoriel d'équation $x+y-2z=0$. Il faut montrer que $E=D\oplus P$

Il est facile de montrer que $P$ et $D$ sont des ssev et que leur intersection est réduite au vecteur nul. Par contre j'ai un souci pour la somme.
J'essaie d'écrire $u\in\R^3$ comme somme deux deux vecteurs dans $P$ et $D$.

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\0\\-\lambda\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que $\lambda,a,b,c\in R$
Il vient facilement $b=y$

Pour les autres, je trouve $\lambda=\dfrac{x+y-2z}{3}$, $a=x-\lambda$ et $c=x-\lambda$ (je n'ai pas encore remplacé). Je me demande si ceci est juste car ça me semble bizarre.
Pouvez-vous m'aider ?


Alors là, j'aurais tendance à dire que dans $\R^3$, une droite et un plan qui ne sont pas parallèles ni confondus sont en somme directe...sans chercher à faire tout ça.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Projections vectorielles

Messagepar guiguiche » Lundi 10 Décembre 2007, 20:35

La notion de dimension n'est peut-être pas encore abordée aussi.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8062
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Projections vectorielles

Messagepar Tunaki » Lundi 10 Décembre 2007, 20:42

Dimension de $P+D$ ? J'ai jamais entendu parler de dimension :?

@Arnaud
Oui en effet, mais comme $\text{ker}\,\pi\subset E_2$ car si on prend $u\in\text{ker}\,\pi$, $u=u_2\in E_2$, on a l'égalité.

Alors là, j'aurais tendance à dire que dans \R^3, une droite et un plan qui ne sont pas parallèles ni confondus sont en somme directe...sans chercher à faire tout ça.


C'est plus simple en effet. :D

Par contre, juste pour savoir, est-ce que le calcul que je faisais était juste ?
Tunaki
Giga-utilisateur
 
Messages: 660
Inscription: Mardi 12 Décembre 2006, 18:03
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Projections vectorielles

Messagepar guiguiche » Lundi 10 Décembre 2007, 20:50

C'est convenable tes calculs (pas vérifié mais la méthode est bonne).
Si tu n'as pas vu la dimension, conserve tes calculs comme argumentation. L'autre est réservée aux connaissances sur la dimension.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8062
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Projections vectorielles

Messagepar Arnaud » Lundi 10 Décembre 2007, 20:55

Tunaki a écrit:@Arnaud
Oui en effet, mais comme $\text{ker}\,\pi\subset E_2$ car si on prend $u\in\text{ker}\,\pi$, $u=u_2\in E_2$, on a l'égalité.


Clairement.
Dans ta rédaction, soit tu raisonnes par équivalences directes ( si c'est possible ), soit tu écris proprement les deux implications, mêmes si elles sont évidentes.
Dans ce que tu as écrit au-dessus, il n'y avait qu'une seule implication de sous-entendu.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7115
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Projections vectorielles

Messagepar Tunaki » Lundi 10 Décembre 2007, 21:01

OK!

Merci de vos aides :)
Tunaki
Giga-utilisateur
 
Messages: 660
Inscription: Mardi 12 Décembre 2006, 18:03
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 6 invités