Projection d'un point sur un plan

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Projection d'un point sur un plan

Messagepar FiReTiTi » Mardi 01 Août 2006, 15:38

Bonjour,

je dispose de l'équation d'un plan P (ax+by+cz+d=0) et des coordonnées d'un point M (Mx, My, Mz) de l'espace.

J'aurai souhaité connaitre la façon de calculer l'es coordonnées de la projection orthogonale du point M sur le plan P.

Merci...
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Messagepar François D. » Mardi 01 Août 2006, 16:47

Quelques pistes :

-- l'équation $ax+by+cz+d=0$ de ton plan te fournit les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}$ normal à ce plan ;

-- si on note $P$ le projeté cherché, on peut dire que $\overrightarrow{PM}$ est colinéaire à $\vec{n}$, donc qu'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{PM}=k \vec{n}$ ;

-- dire que $P$ est un point de ton plan devrait te permettre de trouver $k$ ;

-- conclure ...

À moins qu'un élément ne m'échappe ...
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Messagepar jblecanard » Mercredi 02 Août 2006, 08:26

C'est juste François, mais en fait, il y a beaucoup plus simple.

On peut trouver le point avec une formule directement.

$$ \overrightarrow{MP} =  - \dfrac{\langle\overrightarrow{AM},\overrightarrow{n}\rangle}{\Vert\overrightarrow{n}\Vert^{2}}*\overrightarrow{n}$$



Ou $\overrightarrow{n}$ est le vecteur dont parle François, $P$ le projeté recherché et $A$ un point quelconque du plan.

De ce fait, la distance du point au plan est $\vert \dfrac{\langle\overrightarrow{AM},\overrightarrow{n}\rangle}{\Vert\overrightarrow{n}\Vert} \vert$
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Messagepar François D. » Mercredi 02 Août 2006, 09:28

Merci de m'appuyer, JB :wink: !

Simplement :
-- FiReTiTi ne précisait pas à quel niveau il souhaitait placer la solution (pas obligé que ce soit de niveau DEUG, ça peut être plus élémentaire) ;
-- dans ce genre de cas, le prof que je suis a tendance à d'abord donner des indications avant de fournir la solution « clés en main ».

Rien à voir : tu peux demander à $\LaTeX$ d'adapter automatiquement la hauteur d'un délimiteur en indiquant « \left » et « \right » avant ; exemple : $\left | \dfrac{ \langle \overrightarrow{AM}, \vec{n} \rangle}{|| \vec{n} || } \right |$ :wink:
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Messagepar FiReTiTi » Mercredi 02 Août 2006, 09:45

Bonjour,

merci pour ces réponses.

Pour ce qui est du niveau de la solution, je voulais surtout une explication (savoir comment faire).
C'est pour pouvoir appliquer ce résultat dans un programme d'imagerie numérique.

Merci
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Messagepar jblecanard » Mercredi 02 Août 2006, 22:38

En fait

-- dire que P est un point de ton plan devrait te permettre de trouver k ;


Je ne comprend pas trop ce que tu voulais dire par là. ça ne me paraît pas simple....

-- dans ce genre de cas, le prof que je suis a tendance à d'abord donner des indications avant de fournir la solution « clés en main ».


Tu as parfaitement, raison, et tu n'est pas le premier à me dire que je mâche trop les choses quand je file un coup de main, dans quelque domaine que ce soit. Va falloir que je fasse attention à ça...

Rien à voir : merci pour la précision sur \left et \right, je n'avais jamais essayé de faire ça avant...
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Messagepar François D. » Jeudi 03 Août 2006, 11:03

On a $\overrightarrow{PM}=k\vec{n}$, vu que les deux vecteurs sont colinéaires : on obtient un système de trois équations, où on exprime les coordonnées de $P$ en fonction de celles de $M$ et de $k$ ; « injecter » les coordonnées de $P$ ainsi écrites dans l'équation de plan permet de trouver $k$, et après on remonte le fil :wink: ...
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Messagepar jblecanard » Jeudi 03 Août 2006, 11:05

Ok j'ai compris. ça fonctionne très bien, mais nous en MP nous somme paresseux. Sisi c'est vrai. On aime bien les formules qui font tous le boulot...
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Messagepar François D. » Jeudi 03 Août 2006, 11:08

Et moi je me plaçais au niveau TS : actuellement je prépare tranquillement ce cours pour la rentrée, ça m'a permis de voir comment on attendait ça d'un élève de ce niveau.
François D.
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