[MPSI] Problème de trigonométrie

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[MPSI] Problème de trigonométrie

Messagepar 2hell » Dimanche 18 Septembre 2005, 14:00

Voila bonjour 18 ans en première année de prépa MPSI.
Voila mon premier Devoir maison et déja je bloque si quelqu'un peut m'indiquer un cheminement voila le probleme :

Démontrer que, pour tous réels $x$, $y$ : <center>$sin^{2}(x+y)=sin^{2}(x)+sin^{2}(y)+sin(x)sin(y)cos(x+y)$</center>

J'ai tenté de développer en fesant $sin^{2}(x+y) = sin(x+y)sin(x+y)$ et ensuite utiliser les formules de trigo $sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$ le problème c'est que jobtiens des calculs avec 16 membres et sans simplifiacation évidente ...

Y a t il une astuce ? Merci d'avance.

[Edit: MB] Utilisation du mode Latex.
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 18 Septembre 2005, 15:30

Bonjour,

$\sin^2(x+y)=1-\cos^2(x+y)=1-[\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)]^2$

$=1-\cos^2(x)\cos^2(y)-\sin^2(x)\sin^2(y)+2\cos(x)\cos(y)\sin(x)\sin(y)$

Puis:

$\cos^2(x)\cos^2(y)=(1-\sin^2(x))(1-\sin^2(y))$

$=1-\sin^2(x)-\sin^2(y)+\sin^2(x)\sin^2(y)$

On réinjecte:

$\sin^2(x+y)=$

$\sin^2(x)+\sin^2(y)-2\sin^2(x)\sin^2(y)+2\sin(x)\sin(y)\cos(x)\cos(y)$

A vous de terminer...
P.Fradin
 

merci

Messagepar 2hell » Mardi 27 Septembre 2005, 19:58

merci beaucoup pour votre aide
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