Problème de régularité d'une fonction

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Problème de régularité d'une fonction

Messagepar moumni » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:05

Bonjour tout le monde du Forum:

Quelqu'un peut-il me donner même une indication sur un petit problème que j'ai rencontré et merci bien d'avantage pour votre aide:

Je sais bien que pour montrer qu'une fonction $f$ est de classe $C^{\infty}$ il suffit de montrer que pour tout entier naturel k la dérivée $k^{ieme}$ de $f$ qu'on note $f^{(k)}$ est continue et je sais aussi qu'une fonction $g$ est analytique si elle est développable en série entière. Je sais bien aussi que si $f$ est analytique alors $f$ est de classe $C^{\infty}$. Mais la réciproque est fausse, il suffit de considérer comme contre exemple la fonction $h$ définie par $h(x)=0\;\;si\;\;x\leq 0\;\;et\;\;h(x)=e^{\frac{-1}{x}}\;\;si\;\;x>0$.
avec tous ces renseignements j'ai pas pu montrer que la solution $\psi$ de l'equation differentielle suivante est analytique:
<center>$(1-t^2)\psi^{''}-2x\psi^{'}-(\chi+c^{2}x^{2})\psi=0$</center>
ou $\chi$ est un paramètre réel.
moumni
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Re: Problème de régularité d'une fonction

Messagepar P.Fradin » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:14

moumni a écrit:Bonjour tout le monde du Forum:
j'ai pas pu montrer que la solution $\psi$ de l'equation differentielle suivante est analytique:
<center>$(1-t^2)\psi^{''}-2x\psi^{'}-(\chi+c^{2}x^{2})\psi=0$</center>
ou $\chi$ est un parametre réel.


Il manque quelques informations, quelle est la variable $t$, $x$, $c$? Sinon une méthode classique, quand les coefficients sont polynomiaux, consiste à chercher une solution sous forme de série entière formelle $\displaystyle\sum a_kX^k$ et de substituer dans l'équation et d'identifier avec la série nulle. On obtient en général une relation sur les coefficients $a_k$ qui permet (dans le meilleur des cas) de trouver ces coefficients. Reste ensuite à vérifier que la série obtenue a un rayon de convergence non nul...

PS: en général une équation comme celle-ci n'a pas qu'une solution...
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Messagepar moumni » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:32

Veuillez m'excuser je me suis tromper au lieu de taper $t$ j'ai tapé $x$. l'équation correcte est :

<center>$(1-t^2)\psi^{''}-2t\psi^{'}-(\chi+c^{2}t^{2})\psi=0$</center>

Veuillez m'excuser encore une autre fois.
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Messagepar maskou » Jeudi 27 Octobre 2005, 11:38

Dans ce cas en procédant comme l'indique P.Fradin, tu prouves du même coup que ta solution est analytique puisque tu a exprimé explicitement ses coefficients $a_n$
(au moins par récurrence)

D'autre part l'équation n'a qu'une solution si on ajoute des conditions initiales (qui en général amorcent la relation de récurrence sur les $a_n$)

C'est enfin le rayon de convergence qui te donne le domaine de définition de ta fonction solution ou du moins un ouvert où elle est définie (au bord il peut se passer des choses avec les séries entières...)

Je n'ai pas fait le calcul mais a vue d'oeil c'est bien par les séries entières qu'on résout cette équa diff...
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Messagepar moumni » Jeudi 27 Octobre 2005, 12:02

Merci bien maskou.
J'ai fait les calculs et j'ai trouver une relation de récurrence entre les $a_n$ mais qui m'affirme que les $a_n$ ne sont pas tous nuls et comme ça je récupère le fonction nulle qui est une solution triviale de mon equation différentielle?
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Messagepar Tryphon » Jeudi 27 Octobre 2005, 13:59

Et surtout, qui t'assure que tes coefficients définissent bien une fonction (ta série converge-t-elle ?).

Pour montrer qu'elle n'est pas null, il te suffit de vérifier qu'il y a un coefficient non-nul, ce qui doit être assez simple (regarde déjà les premiers).

Balance tes coefficients, pour voir...
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Messagepar MB » Jeudi 27 Octobre 2005, 14:05

moumni a écrit:j'ai trouver une relation de récurrence entre les $a_n$ mais qui m'affirme que les $a_n$ ne sont pas tous nuls et comme ça je récupère le fonction nulle qui est une solution triviale de mon equation différentielle?


Moi je ne comprend pas trop le sens de cette phrase ! :shock:
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Messagepar maskou » Jeudi 27 Octobre 2005, 14:40

je suis d'accord avec MB ta phrase n'a pas de sens
Une fois que tu as une relation de récurrence,s'il est possible que les $a_n$ soient tous nuls, la plupart du temps ce n'est pas le cas.

Je veux dire par là que soit tu as des conditions initiales et elles t'imposent une fonction (qui peut être nulle: si $\psi(0)=\psi'(0)=0$) non nulle en général (si $\psi(0)=2$ par exemple ta fonction n'est pas nulle!!)

Si tu n'as pas de conditions initiales tu vas trouver un ensemble de solutions (ton équa diff étant homogène ce sera un espace vectoriel de solution (de dimension 2 ici ton équa diff est du second ordre). Alors bien sûr, si tes solutions forment un ev, la solution nulle en fait partie! (mais c'était une solution triviale)

Pour résumer après étude de ta série tu trouve une relation de récurrence du type:
<center>$a_{n+2}=\lambda a_{n+1}+ \mu a_n$</center>
<center>$a_1 \in \R$</center>
<center>$a_0 \in \R$</center>

La solution nulle correspond à $a_1=a_0=0$
On voit tout de suite le coté plan vectoriel de solutions dans la foulée.
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