Problème de moyenne

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Problème de moyenne

Messagepar damius » Jeudi 13 Octobre 2005, 13:40

Bonjour tout le monde, j'ai depuis quelques temps un problème qui me court dans la tête, je vais essayer de l'énoncer clairement.

Vous prenez un dé ayant 20 faces. Quand vous le tirez vous comprenez aisément que le résultat qu'on peut obtenir peut aller de 1 à 20 et que la moyenne se situe a 10,5. La ou les choses se compliquent c'est quand on relance, qu'on fait 10 et qu'on aditionne le résultat à ce 10. Ex: je fais 10, je relance, je fais 15, ce qui me donne 25. Bien sur, si on refait 10, on relance encore et on peut aller a + infini avec infiniment de chance. Ensuite, on suit le même raisonnement pour les 20 (je relance après un 20 et j'aditionne à 20). La aussi on peut aller à + infini "deux fois plus rapidement" (même si ça veut rien dire je sais lol). Pour finir, on combine les 2, c'est à dire qu'on relance sur 10 et 20.

Ma question est la suivante: Peut-on déterminer une moyenne aux résultats d'un dé subissant ces règles?

Je pense qu'on ne peut arriver à la déterminer avec précision puisque les décimales seraient infinies. Si vous pouviez m'aider à trouver la moyenne au centième voire au millième je vous en serais très reconnaissant.

J'ai déja commencé des "recherches" là dessus, je vous les exposerais après vos messages car ça commence à faire un peu lon la lol.

Merci.
damius
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Messagepar maskou » Jeudi 13 Octobre 2005, 20:21

Bonjour damius

La réponse à ta question est oui selon moi.
La seule difficulté est de déterminer le nombre de façons d'obtenir un multiple de 10 en sommes de 10 et de 20
(eh oui $40=20+20=20+10+10=10+10+10+10$)

A partir de là, ta valeur moyenne est

<center>$\sum_{n=1}^{+\infty} nP(X=n)$</center>

$P(X=n)$ est la proba d'obtenir la valeur n à ton tirage.
On a déjà $P(X=i)=\frac{1}{20}~ pour~ i\in [\![ 1; 19 ]\!] \setminus \{10\}$
On a aussi $P(X=10)=P(X=20)=\hdots = P(X=k\times 10)=0 ~\forall k \in \N^{*}$
(puisqu'on rejoue dans ces cas-là...)

Reste à exprimer pour trouver $P(X=4832)$ le nombre de façons de décomposer 4830 en somme de 20 et de 10...et bien sûr savoir aussi en combien de lancers ces décompositions s'obtiennent!

Ainsi <center>$P(X=43)=\left(  \left( \frac{1}{20}\right)^2 +3 \left(\frac{1}{20} \right)^3 + \left( \frac{1}{20} \right)^4 \right) \times \frac{1}{20}$</center>

($40=20+20$, 1 chance sur 20 de faire 20, et ce deux fois, mais $40=20+10+10$ s'obtient de 3 façons selon à quelle place le 20 sort, et enfin $40=10+10+10+10$. Après cela on a une chance sur 20 de faire 3)

Voila à toi de faire un peu de combinatoire (moi j'ai toujours eu du mal à compter :lol:)
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Messagepar MB » Jeudi 13 Octobre 2005, 20:34

Quelle maîtrise du Latex ce maskou ! :D
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Messagepar maskou » Jeudi 13 Octobre 2005, 20:49

eh oui je progresse doucement, bientot une vraie bête je serais...
et la les bouquins des éditions Hermann lisibles je rendrai!!! :mrgreen:
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