Probabitités

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Probabitités

Messagepar woodoo » Dimanche 05 Mai 2013, 13:15

Bonjour,

j'ai un soucis avec un exercice de probabilités:

Soient $X$, $Y$ des variables aléatoires à valeurs dans $\{1, 2\}$. La loi du couple est définie par:
$P(X = 1, Y = 1) = P(X = 2, Y = 1) = a$
$P(X = 1, Y = 2) = P(X = 2, Y = 2) = \frac{1}{2} - a$
pour $0 < a < \frac{1}{2}, a \in \mathbb{R}$. Déterminer la loi de $X$, celle de $Y$ et enfin la loi de $X + Y$.


Je ne vois pas comment isoler $X$ et $Y$.

Merci d'avance! Bonne journée.
woodoo
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Re: Probabitités

Messagepar woodoo » Lundi 06 Mai 2013, 11:04

Bonjour,

j'ai trouvé quelque chose, pourriez-vous me dire si ça vous paraît correct?

j'ai fait un tableau pour les couples qui est le suivant:

$\begin{array}{|c|c|c|p{0.0001cm}|c|} \hline X \textbackslash Y & Y= 1 & Y = 2 & & \\ \hline X = 1 & a & \frac{1}{2}-a & & \frac{1}{2}\\ \hline X = 2 & a & \frac{1}{2}-a & & \frac{1}{2}\\ \hline \hline  & 2a & 1-2a & & 1\\ \hline \end{array}$

Donc $P(X  = 1) = \frac{1}{2}$, $P(X= 2) = \frac{1}{2}$ donc $P(X = i)  = \frac{1}{2}$.
$P(Y = 1) = 2a$, $P(Y = 2) = 1-2a$ donc $P(Y = i) = (1-i)-(1)^{i}2a$.

Ensuite on utilise la formule suivante pour calculer $X+Y$.
$P(X + Y  = n) = \sum_{i=0}^{n}P(X=i)\cdot P(Y=n-i)$
Donc $P(X + Y = n) = \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2}P(Y=n-i) $ $= \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n}P(Y = n-i)  = \frac{1}{2}(2a+1-2a) = \frac{1}{2}$.
Dernière édition par guiguiche le Lundi 06 Mai 2013, 13:21, édité 1 fois.
Raison: correction mathématique du tableau (X=1 et non X_1=1 ...)
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Re: Probabitités

Messagepar guiguiche » Lundi 06 Mai 2013, 13:24

Raisonnablement, les valeurs prises par X+Y sont : 2, 3 et 4. Cela m'étonnerait donc que ces trois nombres apparaissent avec la probabilité 1/2 chacun !
Ton erreur provient du fait que tu considère X et Y indépendantes dans la formule des probabilités totales.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Probabitités

Messagepar woodoo » Lundi 06 Mai 2013, 15:43

Tout d'abord merci pour ta réponse, ensuite à présent j'arrive aux résultats suivants:
$P(X+Y=2) = \sum_{i=0}^{2}P(X = i)P(Y=n-i) = \frac{1}{2}\cdot 2a = a$
$P(X+Y=3) = \sum_{i=0}^{3}P(X = i)P(Y=n-i) $ $= \frac{1}{2}(1-2a) + \frac{1}{2}\cdot 2a = \frac{1}{2}$
$P(X+Y=4) = \sum_{i=0}^{4}P(X = i)P(Y=n-i) = \frac{1}{2}(1-2a) = \frac{1}{2}-a$.

ça me paraît déjà plus juste, mais est-ce que ça l'est?

Merci et bonne soirée!
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Re: Probabitités

Messagepar guiguiche » Lundi 06 Mai 2013, 15:45

Non, ta rédaction est fausse car tu continues à utiliser l'indépendance de X et de Y. Par contre, les résultats sont bien ceux qu'il faut obtenir.
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Re: Probabitités

Messagepar woodoo » Lundi 06 Mai 2013, 21:07

Ah mince!

Mais bon, par chance après vérification X et Y sont indépendantes :D .
Du coup si je le montre c'est bon?

Merci et bonne soirée!
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Re: Probabitités

Messagepar guiguiche » Lundi 06 Mai 2013, 21:27

Oui, tu commences par justifier l'indépendance de X et de Y et ensuite tu procèdes par la méthode que tu as écrite précédemment.
Mais on peut se passer de l'indépendance en utilisant la loi conjointe.
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