[IUT] Probabilités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[IUT] Probabilités

Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 20:12

Bonjour à tous.
Un petit exo sur les probabilités qui me pose problème :

Enoncé :

"Un gros fumeur décide encore une fois d'essayer d'arrêter de fumer. Compte tenu de sa motivation et de ses tentatives précédentes, il estime que s'il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain vaut $0,3$. Par contre, s'il succombe un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas de lendemain vaut $0,9$.
Déterminer la probabilité $P_n$ qu'il ne fume pas le n-ième jour ($n \in \N^*$). Pour cela, on prendra $P_1=0,95$ et on montrera que $\forall n \in \N$, $P_{n+1} = -0,6P_n + 0,9$.
Que se passe t-il pour les grandes valeurs de $n$ ?
Déterminer les entiers $n$ à partir desquels $P_n>0,5$."

Alors voila. D'habitude j'aime bien les probabilités mais la cet énoncé me repousse... lol.
En fait je sais qu'il faut utiliser les probabilités conditionnelles mais je ne vois pas comment.

Merci à tous ceux qui s'y connaissent de bien vouloir éclairer ma lanterne...

@+
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Messagepar MB » Samedi 16 Décembre 2006, 20:32

Il est assez clair que $P_{n+1} = 0,9 \times (1-P_n)+0,3 \times P_n$ non ?
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 20:41

je ne sais pas si j'ai tout compris...
0,9 : proba qu'il ne fume pas le lendemain sachant qu'il fume le jour donné
(1 - Pn) : inverse de Pn c'est à dire qu'il fume le n ième jour
Donc c'est logique de multiplier les 2

0,3 : proba qu'il ne fume pas le lendemain sachant qu'il ne fume pas le jour donné
Pn : proba qu'il ne fume pas le n ième jour. La aussi c'est logique donc en fait tu additionne la probabilité qu'il fume le n ième jour avec la probabilité qu'il ne fume pas le n ième jour...

Oui mais ensuite, où cela nous mene t-il ?
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Messagepar MB » Samedi 16 Décembre 2006, 21:19

glucoz a écrit:donc en fait tu additionne la probabilité qu'il fume le n ième jour avec la probabilité qu'il ne fume pas le n ième jour...


Non, je ne fais pas ça.

J'ajoute la probabilité qu'il fume ne fume pas le $n+1$-ème jour sachant qu'il a fumé le $n$-ème jour ($0,9 \times (1-P_n)$) à la probabilité qu'il ne fume pas le $n+1$-ème jour sachant qu'il n'a fumé le $n$-ème jour ($0,3 \times P_n$).
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Messagepar guiguiche » Samedi 16 Décembre 2006, 21:21

Soit $A_n$ l'événement : la personne ne fume pas le jour $n$.
Tu sais que $(A_n,\bar{A}_n)$ est un système complet d'événements. Tu écris alors la formule des probabilités totales pour l'événement $A_{n+1}$ avec le système sus-mentionné.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 21:24

ah ok d'accord. On fait un peu comme avec les suites et la récurrence non ?? Pour montrer Pn on montre P(n+1)...
Ok alors jusque la je compren. Et ensuite ??
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Messagepar guiguiche » Samedi 16 Décembre 2006, 21:25

glucoz a écrit:ah ok d'accord. On fait un peu comme avec les suites et la récurrence non ?? Pour montrer Pn on montre P(n+1)...
Ok alors jusque la je compren. Et ensuite ??

Ben, il me semble que $p_n=P(A_n)$, non ?
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 21:29

Oui c'est ca mais comment peut-on mettre en relation avec la loi des proba totales...
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Messagepar guiguiche » Samedi 16 Décembre 2006, 21:35

glucoz a écrit:Oui c'est ca mais comment peut-on mettre en relation avec la loi des proba totales...

Que valent : $P_{A_n}(A_{n+1})$ et $P_{\bar{A}_n}(A_{n+1})$ ?
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 21:45

$ P_{A_n} (A_{n+1})$ correspond a la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain sachant qu'il fume un jour donné = 0,9
$P_{\bar{A}_n} (A_{n+1})$ correspond a la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain sachant qu'il ne fume pas un jour donné = 0,3

p.s. désolé je sais pas ou trouver tous les symboles par exemple A barre. merci d'editer et de me dire ou les trouver!!

[edit guiguiche : corrections latex effectuées. si tu passes ta souris sur mon message, le code latex s'affiche en infobulle]
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Messagepar guiguiche » Samedi 16 Décembre 2006, 22:08

Donc que donne la formules des probabilités totales ? (compare avec ce que MB t'a proposé plus haut)
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 22:23

elle dit que $P_{X} = P_{A_{N}}(X) * P_{A_{N}} + P_{A_{N+1}}(X) * P_{A_{N+1}}$
Enfin je crois que c'est un truc comme ca mais je maitrise pas vraiment et le $P_{X}$ je ne vois pas à quoi il correspond. J'ai juste essayé d'appliquer la formule que nous a dit la prof mais je crois que ca va pas.
Le $P_{X}$ devrait etre $P_{N}$ ou $P_{N+1}$ ...

Au secours ... :cry: :cry:
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Messagepar guiguiche » Samedi 16 Décembre 2006, 22:33

glucoz a écrit:Au secours ... :cry: :cry:

Bon, je te lance la bouée :

$$P(A_{n+1})=P(A_n)\times P_{A_n}(A_{n+1})+P(\bar{A}_n)\times P_{\bar{A}_n}(A_{n+1})$$


Ensuite, tu retrouves l'égalité fournie par MB puis tu reconnais une suite arithmetico-géométrique dont tu dois savoir déterminer l'expression du terme général (si toutefois on te demande de calculer $p_n$ en fonction de $n$, ce dont je ne doute pas un instant).

Attention : je soupçonne ton $P(X)$ signifier la probabilité d'une variable aléatoire, ce qui n'a pas de sens. Ici, nul besoin d'utiliser des variables aléatoires.
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 22:52

Je ne retouve pas la meme puisque lui avait trouvé

$P(A_n_+_1)= P(1-A_n) \times P_{A_n}(A_n_+_1) + P(\bar{A}_n) \times P_{\bar{A}_n}(A_n_+_1)$

et ta solution donne $0,9 \times P(A_n) + 0,3 \times P(\bar{A}_n)$
On ne connait pas la probabilité $P(A_n)$ ni $P(\bar{A}_n)$

Et cela me semble bizarre que la prof nous fasse utiliser les suites alors que ce n'est pas du tout ce qu'on voit en ce moment...
De + j'ai un peu beaucoup oublié !!!
Dernière édition par glucoz le Samedi 16 Décembre 2006, 23:03, édité 1 fois.
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Messagepar Tryphon » Samedi 16 Décembre 2006, 23:02

Pardon de m'immiscer mais $A_n$ est un événement et $1$ un nombre. Comment peux-tu écrire une addition entre un évènement et un nombre ?
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Messagepar glucoz » Samedi 16 Décembre 2006, 23:03

Désolé c'était un petit probleme de ma part en mettant les symboles. J'ai un peu de mal à m'y habituer ...
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Messagepar guiguiche » Dimanche 17 Décembre 2006, 09:22

guiguiche a écrit:

$$P(A_{n+1})=P(A_n)\times P_{A_n}(A_{n+1})+P(\bar{A}_n)\times P_{\bar{A}_n}(A_{n+1})$$


Donc, on a :

$$p_{n+1} = p_n \times 0,3 + (1-p_n)\times 0,9 = 0,9 -0,6 p_n$$


Peu importe que tu ne traites pas des suites en ce moment, le seule question est : as-tu déjà traité les suites arithmético-géométriques ?
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Messagepar glucoz » Dimanche 17 Décembre 2006, 09:31

Oui j'ai déjà traité les suites arithmético-géométriques mais il faudrait que je retrouve mes cours car je ne me rappelle plus vraiment comment ca fonctionne.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 17 Décembre 2006, 10:04

glucoz a écrit:mais il faudrait que je retrouve mes cours car je ne me rappelle plus vraiment comment ca fonctionne.

Ca me paraît indispensable à retenir.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar glucoz » Dimanche 17 Décembre 2006, 10:08

j'ai retrouvé mes cours mais il n'y a rien concernant les suites arithmético géométriques... juste arithmétiques et géométriques...
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