Probabilités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Probabilités

Messagepar Lolipop » Mercredi 23 Mai 2018, 14:27

Bonjour,

J’aimerai un peu d’aide pour cet exercice :
Soit X et Y deux var aléatoires à densité indépendantes de même loi uniforme sur [0;1].
Z=X+Y

Comment montrer que P(X<=Y)=P(Y<=X) ? Et comment montrer que 1-Y et Y ont la même loi ?

Merci d’avance
Lolipop
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Re: Probabilités

Messagepar balf » Mercredi 23 Mai 2018, 19:07

Eh bien, en calculant: puisque les densités de $X$ et $Y$ sont égales à 1, on a

$$\begin{array}{l} \displaystyle P(X\leqslant Y)=\int_0^1\Bigl(\int_0^y 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy.\\[2ex] \displaystyle P(Y\leqslant X)=\int_0^1\Bigl(\int_y^1 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy. \end{array} $$

Pour l'autre question, remarquer simplement que

$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<1-t).$$


Bernard
Dernière édition par balf le Vendredi 22 Juin 2018, 15:56, édité 1 fois.
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Re: Probabilités

Messagepar Arthur Accroc » Vendredi 22 Juin 2018, 14:33

balf a écrit:Pour l'autre question, remarquer simplement que

$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<t).$$


Bernard


Tu veux dire

$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<\mathbf{1-t})=1-(1-t) = t = P(Y<t)$$

\bye

Arthur Accroc
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Re: Probabilités

Messagepar balf » Vendredi 22 Juin 2018, 15:59

Arthur Accroc a écrit:Tu veux dire

$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<\mathbf{1-t})=1-(1-t) = t = P(Y<t)$$


Oui, bien sûr. On ne se relit jamais assez ! Merci d'avoir relevé cette coquille, c'est rectifié.

B. A.
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