Probabilités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Probabilités

Messagepar woodoo » Dimanche 28 Avril 2013, 17:58

Bonsoir,

j'ai un exercice de probabilités qui me pose problème, et un autre dont je ne suis pas sûr de la réponse.

Celui qui pose problème:
Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\{1, 2, ...\}$ dont la loi de probabilité est donnée par $P_{X}(X = x) = 2^{-x}$. Trouver la loi de la variable aléatoire $U = X^{4} +1$.

Je ne vois absolument pas comment partir pour celui-ci.

Celui dont je ne suis pas sûr:
Le professeur Einstein voyage de Berlin à Princeston via Hambourg, Amsterdam et New York. La probabilité de perdre ses valises à Hambourg, Amsterdam ou New York est toujours de $p$. Quand il est arrivé à Princeton, il a remarqué que ses valises ont disparues. Déterminer la probailité que ses valises soient encore à Hambourg, Amsterdam ou New York.

J'ai fait un arbre des probabilités, et donc j'arrive aux probabilités suivantes:
$P(Hambourg) = p$
$P(Amsterdam) = (1-p)p$
$P(New\ York) = (1-p)^{2}p$

Cependant cette solution me parait un peu simple.

Merci et bonne soirée.
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Re: Probabilités

Messagepar guiguiche » Dimanche 28 Avril 2013, 21:08

Ex 1
Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable aléatoire U ?
Le transfert est bijectif donc les probabilités sont assez simples à déterminer.

Ex 2
OK, il ne faut pas croire que tous les exercices de maths sont compliqués.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Probabilités

Messagepar woodoo » Lundi 29 Avril 2013, 08:47

Pour l'exercice 1:
$U = \{2, 17, 82, 257, ... \}$.
Donc $u_{1} = x_{1}^{4}+1$, $u_{2} = x_{2}^{4} + 1$, etc...

On en déduit que $\mathbb{P}(U = X^{4} + 1) = 2^{-(x^{4}+1)}$.

Est-ce juste?

Merci pour votre aide! Bonne journée
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Re: Probabilités

Messagepar guiguiche » Lundi 29 Avril 2013, 11:38

Ta probabilité est fausse et le transfert est mal écrit : on transfert les valeurs prises (via la fonction de transfert $x\mapsto x^4+1$) et on conserve les probabilités puisque la fonction de transfert est bijective de $X(\Omega)$ dans $U(\Omega)$. Donc : $\forall k\in\N,\;\mathbb{P}(U=k^4+1)=\mathbb{P}(X=k)=2^{-k}$.
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Re: Probabilités

Messagepar woodoo » Lundi 29 Avril 2013, 19:57

Je crois que j'ai plus ou moins compris le concept:
Pour $\mathbb{P}(U = k^{4} + 1)$ on travaille dans l'espace $U(\Omega)$ et pour $\mathbb{P}(X = k)$ on est dans l'espace $X(\Omega)$?
Et du fait qu'on a une bijection on peut poser que $\mathbb{P}(U =k^{4} + 1) = \mathbb{P}(X = k)$?

Si ce n'est pas ça je ne vois pas vraiment la raison de poser ceci.

Merci pour ton aide et bonne soirée!
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Re: Probabilités

Messagepar guiguiche » Lundi 29 Avril 2013, 21:32

Oui, c'est cela, les valeurs prises par U sont dans $U(\Omega)$ et celles prises par X sont dans $X(\Omega)$. Comme la fonction de transfert est bijective, on a l'égalité des probabilités des deux événements correspondant à des valeurs (des deux variables) qui sont en bijection.
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Re: Probabilités

Messagepar woodoo » Mardi 30 Avril 2013, 20:32

Désolé de revenir là-dessus, mais il y encore quelque chose qui me trouble:

les valeurs prises par U sont dans $U(\Omega)$ et celles prises par X sont dans $X(\Omega)$.


Les $k$ dans $U(\Omega)$ valent $\{2, 17, 82, 257, ...\}$ est les $k$ dans $X(\Omega)$ valent $\{1, 2 , 3, ...\}$, est-ce juste?

Dans ce cas si on dit que $\mathbb{P}(U = k^{4}+1) = \mathbb{P}(X = k)$ avec $k = 1$, on aura $\mathbb{P}(U = 2) = \mathbb{P}( X = 1) = 2^{-1}$.

Si c'est le cas, je pense que j'aurai définitivement compris.

D'ailleurs en passant, je me suis dit qu'on pouvait voir une analogie avec l'algèbre linéaire; une matrice qui représente une application linéaire dans une base quelconque, cette même application diagonalisée dans une base de vecteur propre, et l'application $det(A)$ qui donne le même résultat quelle que soit la base. Je ne sais pas si c'est juste, mais ça me paraît plutôt cohérent.

Merci encore et bonne soirée!
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Re: Probabilités

Messagepar guiguiche » Mardi 30 Avril 2013, 22:07

woodoo a écrit:Les $k$ dans $U(\Omega)$ valent $\{2, 17, 82, 257, ...\}$ est les $k$ dans $X(\Omega)$ valent $\{1, 2 , 3, ...\}$, est-ce juste?

Oui

woodoo a écrit:Dans ce cas si on dit que $\mathbb{P}(U = k^{4}+1) = \mathbb{P}(X = k)$ avec $k = 1$, on aura $\mathbb{P}(U = 2) = \mathbb{P}( X = 1) = 2^{-1}$.

Si c'est le cas, je pense que j'aurai définitivement compris.

OK

woodoo a écrit:D'ailleurs en passant, je me suis dit qu'on pouvait voir une analogie avec l'algèbre linéaire; une matrice qui représente une application linéaire dans une base quelconque, cette même application diagonalisée dans une base de vecteur propre, et l'application $det(A)$ qui donne le même résultat quelle que soit la base. Je ne sais pas si c'est juste, mais ça me paraît plutôt cohérent.

Je ne vois pas bien le rapport.
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Re: Probabilités

Messagepar woodoo » Mardi 07 Mai 2013, 18:27

Le professeur Einstein voyage de Berlin à Princeston via Hambourg, Amsterdam et New York. La probabilité de perdre ses valises à Hambourg, Amsterdam ou New York est toujours de $p$. Quand il est arrivé à Princeton, il a remarqué que ses valises ont disparues. Déterminer la probailité que ses valises soient encore à Hambourg, Amsterdam ou New York.

J'ai fait un arbre des probabilités, et donc j'arrive aux probabilités suivantes:
$P(Hambourg) = p$
$P(Amsterdam) = (1-p)p$
$P(New\ York) = (1-p)^{2}p$

Cependant cette solution me parait un peu simple.


En fait, après corrections, c'était en effet un peu simple comme solution. Donc pour ceux que ça intéresse je mets ici la correction complète.

La probabilité que le prof. Einstein perde ses valises est de $1 - (1-p)^{3}$. Ensuite on doit utiliser la formule des probabilités conditionnelles (les probabilités qu'il les perde à Hambourg, Amsterdam et New York restent valables).
$P(Hambourg | perdues) = \frac{p}{1-(1-p)^{3}}$
$P(Amsterdam | perdues) = \frac{(1-p)p}{1-(1-p)^{3}}$
$P(New\ York | perdues) = \frac{(1-p)^{2}p}{1-(1-p)^{3}}$

Voila ce n'était pas dur au final, mais je n'avais pas vu le problème des probabilités conditionelles.
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Re: Probabilités

Messagepar guiguiche » Mardi 07 Mai 2013, 23:00

woodoo a écrit:Voila ce n'était pas dur au final, mais je n'avais pas vu le problème des probabilités conditionelles.

Et moi, j'ai lu trop rapidement l'énoncé.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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