Probabilité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Probabilité

Messagepar Tolbo » Mercredi 25 Février 2009, 22:11

Bonjour,
en cours nous avons vu un exercice 2 fois avec 2 professeurs différents et ils ont trouvé 2 résultats différents!
Voici l'énoncé : on sait qu'une femme à 2 enfants dont un garçon, quelle est la probabilité que l'autre enfant soit également un garçon ?

L'un trouvé 1/2 l'autre 2/3, la différence dans les raisonnement était que l'un comptait le couple {garçon, garçon} 2 fois ({garçon_1, garçon_2} et {garçon_2, garçon_1} selon que garçon_1 soit né avant ou après garçon_2) tandis que l'autre affirmait que les garçons étant indissociable, il ne fallait compter le couple qu'une seul fois.
Qu'en pensez-vous ?

Pour moi le résultat est 1/2 car intuitivement,peu importe que l'autre soit un garçon ou une fille, le deuxième enfant à 1 chance sur 2 d'être un garçon.
Tolbo
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Re: Probabilité

Messagepar MC » Mercredi 25 Février 2009, 22:59

Bonsoir,

C'est un classique, et qui prête toujours à des ambiguïtés de modélisation.

Supposons qu'on présente les choses comme ça. On place deux boules blanches ou noires dans une urne. Les couleurs pour chaque boule sont équiprobables, et les couleurs des deux boules sont indépendantes.

1er cas : On tire une des deux boules au hasard: elle est blanche. Quelle est la probabilité pour que l'autre boule soit également blanche?
Dans ce cas la bonne réponse est 1/2

2e cas : Quelqu'un regarde dans l'urne et nous dit: il y a au moins une boule blanche. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait deux boules blanches?
Dans ce cas la bonne réponse est 1/3.

3e cas : Quelqu'un regarde dans l'urne et nous dit: il y a au moins une boule blanche. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit blanche? Dans ce cas la bonne réponse est 2/3.

Cordialement
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Re: Probabilité

Messagepar Tolbo » Jeudi 26 Février 2009, 08:33

Je ne comprends pas pourquoi dans le cas 1 et 2 on obtient des résultats différents.

"1er cas : On tire une des deux boules au hasard: elle est blanche"
"2e cas : Quelqu'un regarde dans l'urne et nous dit: il y a au moins une boule blanche."

Au final on à la même information, non ?
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Re: Probabilité

Messagepar MC » Jeudi 26 Février 2009, 10:53

Non

Raisonne à partir des possibilités pour le contenu de l'urne :
a) deux blanches, probabilité 1/4,
b) une blanche une noire , probabilité 1/2
c) deux noires, probabilité 1/4

Les probabilités (conditionnelles) de tirer une blanche dans les trois cas sont respectivement 1, 1/2, 0.
Ca colle bien : au total, probabilité 1/2 de tirer une boule blanche, 1/4 de tirer une boule blanche en étant dans le cas a et 1/4 de tirer une boule blanche en étant dans le cas b.

Maintenant, si quelqu'un nous dit qu'il y a au moins une boule blanche, l'information qu'on en tire est que l'ensemble des possibles se réduit au cas a (probabilité 1/3) et au cas b (probabilité 2/3). La probabilité qu'il y ait deux boules blanches (cas a) est bien 1/3.

Cordialement.
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Re: Probabilité

Messagepar Tolbo » Jeudi 26 Février 2009, 21:17

Je pense voir la subtilité entre les deux cas même si je ne trouve pas normal d'obtenir deux résultats différents.
A vrai dire ça me fait même presque peur.
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Re: Probabilité

Messagepar Tolbo » Dimanche 08 Mars 2009, 23:14

http://saralegi.free.fr/Enseignement/Ex ... ection.pdf

Regardez l'exercice 3 .e) et sa correction,

il est écrit 1/2 et non 1/3 ....
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Re: Probabilité

Messagepar guiguiche » Lundi 09 Mars 2009, 09:21

Ce document me fait peur : tant de fautes d'orthographe, on a l'impression que les correction de (e) et (f) sont inversées, l'hypothèse d'équiprobabilité sur $\Omega$ qui semble plus que douteuse au vu de l'énoncé ...
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Probabilité

Messagepar Hiruma » Lundi 09 Mars 2009, 10:23

Bonjour,

Je voudrai participer à cette discussion car j'étudie la même chose en ce moment, et j'ai une interro mardi :cry:

Je voudrai reprendre l'exercice proposer par MC :


Soient $W$ l'évènement "tirer une boule blanche" et $N$ l'évènement "tirer une boule noire"

1) Les évènements $W$ et $N$ sont indépandant, nous pouvons étudier l'expérience comme s'il n'y avait qu'une seule boule dans l'urne. De plus, les couleurs pour chaque boule sont équiprobable, on a alors $\mathbb{P} (\{W\}) = \frac{1}{2}$.

2) On a $\omega = (\omega_1,\omega_2)$ avec $\omega_k$ l'évènement élémentaire du k-ième tirage. Donc $\Omega = (\{W,N\},\{W,W\},\{N,W\})$.
Par équiprobabilité (de chacun des évèmenements de $\Omega$), $\mathbb{P} (\{W,W\}) = \frac{1}{3}$.

3) On a le même $\Omega$ dans cette expérience. Nous voulons la probabilité de l'évènement $W_1 =$ "on a une boule blanche au premier tirage".
Ainsi $\mathbb{P} (\{W_1\}) = \mathbb{P} (\{W,N\},\{W,W\}) = \frac{2}{3}$. (Je ne précise pas qu'on a équiprobabilité car j'ai déjà préciser que $\Omega$ est le même).
Dernière édition par Hiruma le Lundi 09 Mars 2009, 13:55, édité 1 fois.
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Re: Probabilité

Messagepar MC » Lundi 09 Mars 2009, 11:40

Bonjour,

Je confirme le diagnostic de guiguiche, entre l'interversion des questions e et f dans le corrigé.

Question e : on est dans le deuxième cas de la modélisation avec une urne. La bonne réponse est 1/3. Le corrigé correspond à celui de la question f dans le document.
L'équiprobabilité peut bien sûr être discutée, mais elle me semble tout à fait naturelle : si on admet que les quatre possibilités (G,G), (G,F), (F,G) et (F,F) pour le couple (aîné,cadet) sont équiprobables et si l'information supplémentaire réduit l'ensemble à (G,F), (F,G) et (F,F), les trois restants sont équiprobables, non? Je ne comprends pas l'objection de guiguiche sur ce point, peut-être l'expliquera-t-il.

Question f : La réponse correcte est 1/2 (l'espace des évènements possibles est alors réduit à (F,G) et (F,F)).

Cordialement.
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Re: Probabilité

Messagepar guiguiche » Lundi 09 Mars 2009, 14:44

MC a écrit:Je ne comprends pas l'objection de guiguiche sur ce point, peut-être l'expliquera-t-il.

Oups, c'est moi qui ait mal lu l'énoncé, l'équiprobabilité est effectivement naturelle. Toutes mes excuses.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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