(Prepa ECS) Polynomes

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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 16:58

Lilo69 a écrit:Cela signifie que :
$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$ est racine de P
Oui avec $k$ compris entre $0$ et $n-1$.

Lilo69 a écrit:Non je ne vois pas pourquoi on doit distinguer les 2 cas.
essaie avec $n=1$ puis $n=2$, $n=3$, $n=4$.

Lilo69 a écrit:Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$
oui et ici tes $\alpha_j$ ce sont les racines de $P$.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 17:11

Ah oui alors, cela donne :
n solutions si n est pair
et n-1 solutions si n est impair

Mais même en sachant ça, je ne vois pas comment répondre à la question...

Car même avec la formule du théorème, que représente $\lambda$ et r ? Par rapport à l'exercice je veux dire.. comment les trouver?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 17:18

Lilo69 a écrit:Ah oui alors, cela donne :
n solutions si n est pair
et n-1 solutions si n est impair
Non. que vaut ton polynôme $P$ si $n=1$ ? $n=2$ ? $n=3$ ?

Lilo69 a écrit:Car même avec la formule du théorème, que représente $\lambda$ et r ? Par rapport à l'exercice je veux dire.. comment les trouver?
Si tu as un polynôme de degré 2 $aX^2+bX+c$ qui admet deux racines, réelles ou complexes $x_1$ et $x_2$, comment se factorise-t-il ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 17:45

J'ai remplacé n par 1, 2 et 3 dans l'expression de P.. Je trouve que P est factorisable par 4(X-1) ... Je ne vois vraiment pas où on veut en venir.. :|

Ensuite le polynôme de degré 2 va se factoriser par a(X-x1)(X-x2)

Et je ne vois toujours pas...

(PS : merci de votre aide et de votre patiente... !!)
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 17:53

Lilo69 a écrit:J'ai remplacé n par 1, 2 et 3 dans l'expression de P.. Je ne vois vraiment pas où on veut en venir.. :|
C'est pour voir le degré du polynome $P$. qd $n=1$ il est de degré ? pour $n=2$ il est de degré combien ? idem pour $n=3$.

Lilo69 a écrit:Ensuite le polynôme de degré 2 va se factoriser par a(X-x1)(X-x2)
Oui donc ton $a$ c'est l'équivalent de ton $\lambda$ dans ta formule $P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$ et $\alpha_j$ sont tes racines $x_1$ et $x_2$, et ici $r=1$.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 18:08

Alors P est de degré n-1 quand n est pair et de degré n quand n est impair !

Mais c'est dingue.. je ne vois toujours pas comment factoriser ce polynôme P !!!
Si $1+(i/2)tan(k\pi/n)$ sont toutes les racines de P, elles représente $\alpha$ ?

On peut écrire ça : ?
$P(X)=\lambda\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$

Ca me parait bizarre, d'autant plus quand je regarde la question initiale, où il faut trouver des polynomes irréductibles.. Je ne vois pas comment l'écrire..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Mardi 28 Octobre 2014, 18:46

Dans C, les polynômes irréductibles sont de degré 1 (à cause de D'Alembert-Gauss). Pour la factorisation dans R, les polynômes irréductibles sont, soit de degré 1, soit des polynômes de degré 2 à discriminant négatif (et dont les racines complexes sont, par conséquent, conjuguées). Partant de là, d'une décomposition dans C : $\mathsf{(X - \lambda)(X - \bar\lambda)}$, on déduit un facteur irréductible dans R : $\mathsf{X^2-2 (Re\, \lambda) X +|\lambda|^2}$.

B.A.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 19:42

Oui tout ça je l'ai en tête.. Mais j'ai aucune idée de comment l'écrire pour répondre à la question.. C'est trop abstrait, pourtant j'ai revu mon cours, mais comme nous n'avons encore fait aucun exercice je bloque complètement!
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 20:18

Lilo69 a écrit:Alors P est de degré n-1 quand n est pair et de degré n quand n est impair !
Oui

Lilo69 a écrit:Mais c'est dingue.. je ne vois toujours pas comment factoriser ce polynôme P !!!
Si $1+(i/2)tan(k\pi/n)$ sont toutes les racines de P, elles représente $\alpha$ ?
Oui,
Lilo69 a écrit:On peut écrire ça : ?
$P(X)=\lambda\prod_{k=0}^{n-1} (X-(1+(i/2)tan(k\pi/n)))$
Oui, mais ceci n'est valable que si $n$ est impair d'après ce que tu as écrit ci dessus. Et il faut que tu détermines aussi ton $\lambda$, toujours qd $n$ impair. Il suffit de déterminer le coefficient de $X^n$ qd tu développes ton polynôme $P=\[(2X-1)^{n}-(-2X+3)^{n}\]$

Lilo69 a écrit:Ca me parait bizarre, d'autant plus quand je regarde la question initiale, où il faut trouver des polynomes irréductibles...
ben comme te l'as dit balf, dans $\C$ les polynômes irréductibles sont de degré 1 : ceci $(X-(1+(i/2)tan(k\pi/n)))$ est bien de degré 1, non ?

Pour $n$ pair, il faudra reprendre ici :

$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$

car pour pouvoir diviser, il y a peut être qque question à se poser
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Mardi 28 Octobre 2014, 21:24

Ceci se reflète dans le fait que tg(kπ/n) n'est pas toujours défini quand n est pair.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 11:20

Merci!

Ainsi, quand n impair :

$P(X)=2\prod_{k=0}^{n-1} (X-(1+(i/2)tan(k\pi/n)))$

Pour calculer lambda j'ai fait donc exprimer P à l'aide de la formule de Newton : et j'ai trouvé que le coefficient de X^n était 2 (ce n'était pas nécessaire mais par rapport à la rédaction ça le fait apparaitre clairement.. je ne sais pas..)

Ensuite pour n pair, je ne vois pas pourquoi je ne pourrais pas faire la même chose...
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 11:27

Lilo69 a écrit:: et j'ai trouvé que le coefficient de X^n était 2
Non ceci n'est pas correct.

quel est le terme de degré $n$ dans $(2X-1)^n$ et dans $(-2X+3)^n$ ?

Lilo69 a écrit:Ensuite pour n pair, je ne vois pas pourquoi je ne pourrais pas faire la même chose...
Tu as dit précédemment qd $n$ pair, ton polynôme est de degré $n-1$ alors que là tu as $n$ racines : est-ce possible ?
kojak a écrit:Pour $n$ pair, il faudra reprendre ici :

$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$

car pour pouvoir diviser, il y a peut être qque question à se poser
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 11:34

Ah mais oui --' donc le coefficient est 4 ?


$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$


On ne peut pas diviser si n=2 mais pourquoi le généraliser pour n pair ? Je ne comprends pas ...
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 11:39

Lilo69 a écrit:Ah mais oui --' donc le coefficient est 4 ?
Non, toujours pas.

Qd tu développes $(2X-1)^n$ le terme de degré $n$ est obtenu comment ? il dépend de $n$.

Lilo69 a écrit:On ne peut pas diviser si n=2 mais pourquoi le généraliser pour n pair ? Je ne comprends pas ...
Pour diviser, il ne faut pas que $1+e^{i2k\pi/n}=0$ c'est à dire que $e^{i2k\pi/n}=-1$ : quel est un argument de $-1$ ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 11:54

...

Mais P(X) est bien égal à :

$P=\sum_{k=0}^{n} \binom {k} {n}(2X)^{n-k}(-1)^k-\sum_{k=0}^{n} \binom {k} {n}(-2X)^{n-k}(3)^k$ ?

J'ai vraiment du mal là...

arg(-1)=\pi , donc k≠n/2 ! et comme k est un entier, si n impair alors k n'est jamais égal à n/2, mais si n pair, alors k peut l'être
Alors donc je ne sais pas quoi faire de ça..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 12:02

Oui mais je ne te demande que le terme de degré $n$ pas les autres.

Lilo69 a écrit:$\arg(-1)=\pi$ , donc k≠n/2 ! et comme k est un entier, si n impair alors k n'est jamais égal à n/2, mais si n pair, alors k peut l'être
Tout à fait. donc après faut réfléchir encore un peu :wink:
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 12:11

Justement avec cette écriture de P, si on rassemble les coefficients de X^n des deux sommes, je trouve 4 ! je ne vois pas pourquoi c'est faux... :?

Pour l'argument j'ai bien réfléchis, mais dans le vide je pense.. Je n'aboutis à rien et je n'arrive pas à transformer cette équation pour trouver la racine...
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 13:28

Lilo69 a écrit:Justement avec cette écriture de P, si on rassemble les coefficients de X^n des deux sommes, je trouve 4 ! je ne vois pas pourquoi c'est faux... :?
Le terme dominant dans $(2X-1)^n$ est $(2X)^n$ c'est à dire ?

Idem dans $(-2X+3)^n$ c'est $(-2X)^n$. Donc ça donne combien ? et donc par somme, ça te fait quoi ? sans oublier que $n$ est impair...

Qd $n$ pair, on écrit $n=2p$ avec $p$ entier, donc maintenant, à continuer et donc voir al valeur de $k$, en fonction de $p$ à enlever pour avoir tes $n-1$ racines complexes.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 13:43

mais oui le n se porte sur le 2 !!

Et bien ça donne $2^n-(-2)^n$ ?

Par contre l'histoire du p je ne vois pas du tout comment faire, je suis désolée j'ai vraiment du mal.. en tout cas merci de votre aide!!
Dire que k≠p ne m'avance pas car je ne sais pas comment définir ce p et comment résoudre l'équation avec ça..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 15:14

Lilo69 a écrit:Et bien ça donne $2^n-(-2)^n$ ?
Ca se simplifie encore, sachant que ton $n$ est impair.

Lilo69 a écrit:Par contre l'histoire du p je ne vois pas du tout comment faire

On est en train de faire le cas où $,$ est pair donc $n=2p$ : OK ?

Lilo69 a écrit:Dire que k≠p ne m'avance pas
 Ben si, car c'est justement le cas où tu ne peux pas diviser pour avoir de racines : $X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{2p}$ avec $n=2p$ donc les racines de $P$ sont obtenues avec cette formule mais pour $k\neq p$. Tu peux alors écrire la factorisation de ton polynôme $P$ dans le cas $n$ pair. C'est presque comme ceci : $P(X)=\lambda\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$ sauf qu'il faut enlever le cas $k=p$ sachant que $n=2p$ toujours. Maintenant il te reste à trouver le coeff de degré $n-1$ pour avoir ton $\lambda$.
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