[MP] Polynômes, Forme Linéaire, Série

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[MP] Polynômes, Forme Linéaire, Série

Messagepar acid24 » Mercredi 02 Août 2006, 12:37

Bonjour à tous, peut-on dire que l'application :

$$\begin{array}{l|rcl}
 \phi: & \R_n[X] & \longrightarrow & \R \\
     & P & \longmapsto & \displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ P(\frac{1}{k } ) }  {k^2}  } \end{array}$$



est une forme linéaire ? comment montrer "proprement" la linéarité ?
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Messagepar François D. » Mercredi 02 Août 2006, 12:58

D'abord, $\phi$ est-elle définie pour tout $P \in \mathbb{R}_n[X]$ ? Tu l'as peut-être déjà établi, auquel cas tu peux passer à la suite, mais pour ma part je commencerais par le vérifier ...

Ensuite, il est clair que $\displaystyle \phi_N : P \mapsto \phi_N(P)=\sum_{k=1}^N \dfrac{P\left( \frac{1}{k} \right) }{k^2} = \sum_{k=1}^N \left ( \sum_{i=0}^n \dfrac{a_i}{k^{i+2}} \right) $ est linéaire ... peut-être arriveras-tu à quelque chose en faisant tendre $N \to +\infty$ et/ou en intervertissant les deux sommations ...

Mais là, je reconnais que je réfléchis à voix haute, pas plus ...
François D.
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Messagepar acid24 » Mercredi 02 Août 2006, 14:15

Pour la definition , P est continue sur [0,1] donc bornée, donc la somme en valeur absolue est majorée par
$\ds{Max_{[0,1]} |P| \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ 1 }  {k^2} }$

justement , pour moi la question est comment prouver le caractère linéaire en passant d'une somme finie à infinie ... ? merci de vos éléments de réponse
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Re: [MP] Polynômes, Forme Linéaire, Série

Messagepar jblecanard » Mercredi 02 Août 2006, 23:17

Les sommes infinies ne sont des que limites au final. Comme on est dans $\R$, la limite d'une somme est la somme des limites, aucun problème.

En fait François a complètement raison. Il suffit de montrer que l'application est correctement définie. Ne te laisse pas avoir par passer de la limite d'une somme finie à celle d'une somme infinie. En effet, le problème ne se pose pas ici ! Une somme finie n'a justement pas de limite... regarde bien la formule de François. Le $n$ est fini et ne tend pas vers l'infini. Il suffit de le fixer à la valeur du degré du polynôme de plus haut degré dans l'addition. Tu cherche donc la convergence ou non d'une série de nombres réels, et non d'une série de suites !

Vu qu'au départ, les deux séries convergent toutes les deux, il n'y aucun problème...

Conclusion : le problème est simple, mais one se laisse embrumer par les polynômes et la belle série... Je précise que j'ai réfléchi longtemps avant d'en arriver là. Pas bon les vacances.

Au fait : vive la MP 8)
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Messagepar acid24 » Jeudi 03 Août 2006, 09:24

Donc cela permet de poser l'exercice suivant , que je trouve amusant :

montrer qu'il existe $(a,b,c) \in \R^3$ tels que :
$\ds{ \forall P \in \R_2[X] ,~~ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ P(\frac{1}{k } ) }  {k^2} = a \spcdot P(-1) + b\spcdot P(0) + c\spcdot P(1) }$

mais pourrait-t-on montrer, en retournant un peu le PB, qu'il existe$(x_0,x_1,x_2) \in \R^3$ tels que

$\ds{ \forall P \in \R_2[X] ,~~ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ P(\frac{1}{k } ) }  {k^2} = \spcdot P(x_0) + \spcdot P(x_1) + \spcdot P(x_2) }$ ???
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Messagepar jblecanard » Jeudi 03 Août 2006, 09:44

acid24 a écrit:Donc cela permet de poser l'exercice suivant , que je trouve amusant :

montrer qu'il existe $(a,b,c) \in \R^3$ tels que :
$\ds{ \forall P \in \R_2[X] ,~~ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ P(\frac{1}{k } ) }  {k^2} = a \spcdot P(-1) + b\spcdot P(0) + c\spcdot P(1) }$


Edit 2 : la suite de mon message est une bêtise.

L'exercice ne me semble pas bien posé. L'énoncé serait plutôt

$\ds{ \forall P \in \R_2[X]$, montrer qu'il existe $(a,b,c) \in \R^3$ tels que :

$\ds{ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ P(\frac{1}{k } ) }  {k^2} = a \spcdot P(-1) + b\spcdot P(0) + c\spcdot P(1) }$

Edit : je dis bien me semble. Je ne suis sûr de rien ! Effectivement si la quantifictaion est dans le bon sens, l'exo est intéressant...

Ensuite, retourner le problème ne fonctionne pas. Contre-exemple : ça ne marche pas avec le polynôme constant "égal" à 1.
Dernière édition par jblecanard le Jeudi 03 Août 2006, 10:00, édité 1 fois.
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Messagepar jblecanard » Jeudi 03 Août 2006, 09:59

L'exercice est correctement posé. Je viens de le résoudre. Pardon pour mon reproche complètement injustifié.

En revanche, étendre le problème n'est effectivement pas possible.

NB : j'ai fait un exo de math ! En vacances !
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Messagepar acid24 » Jeudi 03 Août 2006, 10:06

d'accord pour la seconde remarque, tu marque un point, 1-0 !
par contre pour la première, je maintiens :

dans $\R_2[X] ,\ds{P \rightarrow \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ P(\frac{1}{k } ) }  {k^2}}$ etant une forme linéaire ,
elle se décompose sur ${P \rightarrow P(-1), P \rightarrow P(0), P \rightarrow P(1)$ qui sont trois FL libres , donc c'est valable pour tout P.

1-1 !!
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Messagepar jblecanard » Jeudi 03 Août 2006, 10:24

Ben oui je viens de dire au dessus que tu avais raison et que j'avais fait l'exo...

De plus, comme l'application se décompose en trois formes linéaires, le problème est résolu. Mais d'une autre manière... plus élégante d'ailleurs.
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Messagepar acid24 » Jeudi 03 Août 2006, 10:43

je n'ai lu la réponse qu'après avoir posté ,
par contre l'autre manière , moins élégante , peut-etre est-ce le calcul effectif de $(a,b,c)$ ? (ce n'etait pas le but de l'exo , mais c'est vrai que ça peut etre interressant , j'imagine que $\dfrac{\pi^2}{6}$ doit intervenir , mais c'est un tout autre exo )
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Messagepar jblecanard » Jeudi 03 Août 2006, 10:58

Trouver a, b, et c est une bonne méthode. Je ne suis pas prof et je l'ai fais en quelques minutes, et encore, en traînant.

$\dfrac{\pi^2}{6}$ est bien dans le coin, mais on peut le laisser sous forme de somme infinie. Nul besoin de le calculer, sauf si on est un peu perfectionniste.

Edit : pour une khôlle c'est pas mal car on peut étendre l'exo en faisant calculer les sommes infiinies mises en jeu...
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