Polynômes 2

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Polynômes 2

Messagepar hec » Mardi 09 Octobre 2007, 09:58

Bonjour,

Je suis en train de faire cet exo http://www.int-evry.fr/aphec/concours/s ... 82_G_2.pdf et j'aimerais avoir votre avis sur quelques points :
PARTIE I.
1a) Je laisse tomber, les démonstrations ce n'est pas mon truc.
1b) La famille $(L_{0,n},L_{1,n},...L_{n,n})$ est une famille libre car étagée en degré.
Nous sommes en dimension finie : La famille $(L_{0,n},L_{1,n},...L_{n,n})$ est de cardinal (n+1) et $\dim(\R_n[X])=n+1$
Donc la famille $(L_{0,n},L_{1,n},...L_{n,n})$ est une base de $\R_n[X]$.
Est-ce juste ?

Ensuite, ça veut dire quoi les coordonnées d'un polynôme ?
Merci.
hec
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Re: Polynômes 2

Messagepar guiguiche » Mardi 09 Octobre 2007, 10:17

Les polynômes sont tous de degré $n-1$ donc ton raisonnement est faux.
Il faut établir l'indépendance linéaire à partir de la définition (et en utilisant la définition des polynômes).
Pour les coordonnées, il s'agit des coordonnées dans la base choisie. Exemple : dans la base canonique de $\R_n[X]$, les coordonnées du polynôme $\sum{a_kX^k}$ sont $(a_0,\dots,a_n)$. Evidemment, si on change de base, on change de coordonnées (pour un même polynôme bien sûr).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Polynômes 2

Messagepar hec » Mardi 09 Octobre 2007, 10:29

guiguiche a écrit:Les polynômes sont tous de degré $n-1$ donc ton raisonnement est faux.

Pas $n+1$ plutôt ?
Ex $L_{0,n} = (-1)^n \dfrac{1}{n!} \prod_{i=0}^n (X-i)$
Admettons que $n=2$ : $L_{0,2} = (-1)^2 \dfrac{1}{2!} \prod_{i=0}^2 (X-i)=(-1)^2 \dfrac{1}{2!} X(X-1)(X-2)$ qui est un polynôme de degré 3=2+1 ?
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Re: Polynômes 2

Messagepar hec » Mardi 09 Octobre 2007, 10:36

$(a_0,a_1,...,a_n) \in \R^{n+1}$
Je dois montrer que : $a_0L_{0,n}+a_1L_{1,n}+...+a_nL_{n,n} =0 \Rightarrow a_0=a_1=...=a_n=0$ ?
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Re: Polynômes 2

Messagepar Arnaud » Mardi 09 Octobre 2007, 14:04

Oui, mais cela ne suffit pas pour répondre à la question.
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Re: Polynômes 2

Messagepar hec » Mardi 09 Octobre 2007, 14:11

Arnaud a écrit:Oui, mais cela ne suffit pas pour répondre à la question.

Alors déjà pour montrer que la famille est libre :
$L_{0,n} = \dfrac{(-1)^n}{n!} \prod_{i=1}^n (X-i)$
$L_{1,n}= \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} X \prod_{i=2}^n (X-i)$
...
$L_{n,n}= \dfrac{1}{n!} \prod_{i=0}^{n-1} (X-i)$
donc $a_0L_{0,n}+a_1L_{1,n}+...+a_nL_{n,n}=0$
$ \Rightarrow a_0\dfrac{(-1)^n}{n!} \prod_{i=1}^n (X-i)+a_1\dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} X \prod_{i=2}^n (X-i)+...+a_n\dfrac{1}{n!} \prod_{i=0}^{n-1} (X-i)=0$
et ensuite ???
Dernière édition par hec le Mardi 09 Octobre 2007, 20:18, édité 1 fois.
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Re: Polynômes 2

Messagepar Arnaud » Mardi 09 Octobre 2007, 16:31

Tes produits ne sont pas justes, il faut que dans chaque $L_{k,n}$ le paramètre $i$ soit différent de $k$, et c'est là toute la clé de la démonstration ( cherche un peu pourquoi ).
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Re: Polynômes 2

Messagepar guiguiche » Mardi 09 Octobre 2007, 17:40

hec a écrit:
guiguiche a écrit:Les polynômes sont tous de degré $n-1$ donc ton raisonnement est faux.

Pas $n+1$ plutôt ?

Oups, c'est de degré $n$ : l'une des valeurs de k (ou i je ne sais plus) est à exclure.
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Re: Polynômes 2

Messagepar hec » Mardi 09 Octobre 2007, 20:15

oui c'est vrai, je ne savais pas trop quoi faire de cette hypothèse, j'ai compris maintenant, je vais modifier mon message.
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