Polynome minimal et Polynome caractéristique

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Polynome minimal et Polynome caractéristique

Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 10:44

Bonjour,

j'ai quelques problème sur cette exercice :
Soit $A=\begin{pmatrix}0&2&1&\\-2&0&3&\\-1&-3&0&\end{pmatrix}$.

Déterminer le polynome caractéristique et le polynome minimal de $A$

$det(A-XI)=\begin{vmatrix}-X&2&1\\-2&-X&3\\-1&-3&-X\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-X&2&0\\-2&-X&6+X\\-1&-3&3-2X\end{vmatrix}$
(j'ai fait $c_3\leftarrow 2c_3 - c_2$)

Je fait un developpement par rapport à la première ligne. Je trouve que $det(A-XI)=-2X(X^2+14)$
(j'ai pas trouvé de manière plus élégante de faire).

Je cherche le polynome minimal : c'est un diviseur du polynome caractéristique, unitaire et annulateur de $A$.
Les diviseurs de $X(X^2+14)$ sont
Dans $\R$ :
$X$ absurde car $A\neq 0$
$X^2+14$ absurde car $A^2+14\neq 0$
$X(X^2+14)$ est donc le polynome minimal.

Dans $\C$ :
les mêmes que dans $\R$ plus
$X-\sqrt{14}i$
$X+\sqrt{14}i$
$X(X-\sqrt{14}i)$
$X(X+\sqrt{14}i)$

Dans chacun des cas on vérifie que c'est impossible.
Le polynome minimal est donc $X(X^2+14)$ dans $\R$ et $\C$.
Est-ce correct ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 11:59

Il y a une erreur de raisonnement : toutes les valeurs propres doivent apparaitre dans l'expression factorisée du polynôme minimal car :

"$\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme si et seulement si c'est une racine de son polynôme minimal"

Donc tu ne peux pas dire que $X-i\sqrt{14}$ est une expression possible du polynôme minimal.

Conséquences de cette propriété :
- le polynôme minimal a les mêmes racines que le polynôme caractéristique
- si les racines du polynôme caractéristique ont pour multiplicité 1, alors c'est aussi le polynôme minimal.
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Messagepar guiguiche » Mercredi 18 Octobre 2006, 12:48

Tu peux aussi rechercher "empiriquement" le polynôme minimal :
* Existe-t-il $a\in\R$ tel que $P(X)=X+a$ est annulateur de $A$ ?
* Si non, existe-t-il $(a,b)\in\R^2$ tel $P(X)=X^2+aX+b$ est annulateur de $A$ ?
* Si non, exists-t-il $(a,b,c)\in\R^3$ tel que $P(X)=X^3+aX^2+bX+c$ est annulateur de $A$ ?
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:07

En fait,

dans $\R$, $P_{car}(X)=-2X(X^2+14)$
dans $\C$, $P_{car}(X)=-2X(X+\sqrt{14}i)(X-\sqrt{14}i)$

dans chacun des cas $P_{min}$ est un diviseur de $P_{car}$ donc je ne saisi pas mon erreur!

dans $\R$, je fait la liste des diviseurs et je regarde lequel convient.
de même dans $\C$ non ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:13

$P_{min}$ est un diviseur de $P_{car}$ ayant exactement les mêmes racines.

$(X-\sqrt{14}i)$ est bien un diviseur de $P_{car}$ mais n'a pas le même ensemble de racines, donc cela ne peut pas être $P_{min}$
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:15

ayant les mêmes racines que quoi ? que qui ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:18

Ben, ayant les mêmes racines que $P_{car}$...
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Messagepar guiguiche » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:28

Dans $\C$, ton polynôme caractéristique est scindé et a des racines simples donc $A$ est diagonalisable dans $\C$. Je pense qu'il est alors minimal puisque je crois me souvenir (je ne pratique plus le polynôme caractéristique depuis trop longtemps) que toute racine de $P_A$ est une valeur propre de $A$.
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:28

Mais dans $\C$, $P_{car}(X)=-2X(X+\sqrt{14}i)(X-\sqrt{14}i)$.
Donc $\sqrt{14}i$ est bien racinde de $P_{car}(X)$, je vois l'absurdité de dire $P_{min}(X)=(X-\sqrt{14}i)$ !
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Messagepar guiguiche » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:31

Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique possèdent les mêmes racines. Peux-tu enlever un facteur (dans $\C$) du polynôme caractéristique ?
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 13:50

$-\sqrt{14}i$ est racine de $P_{car}$ mais pas de $P_{min}$ ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 15:40

L'ensemble des racines de $(X-\sqrt{14}i)$ est $\{\sqrt{14}i\}$, et l'ensemble des racines de $P_{car}(X)=-2X(X+\sqrt{14}i)(X-\sqrt{14}i)$ est $\{-\sqrt{14}i\;0;\sqrt{14}i\}$, comme ces ensembles sont différents, $(X-\sqrt{14}i)$ n'est pas le polynôme minimal, car cela contredit la propriété que nous avons déjà cité pas mal de fois plus haut.

Un autre exemple : si $P_{car}=(X-1)^5(X-2)^4(X-3)^{17}$, alors le polynôme minimal est forcément de la forme $P_{min}=(X-1)^i(X-2)^j(X-3)^k$, avec $i \le 5$, $j \le 4$ et $k \le 17$.
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Messagepar nirosis » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:09

D'ailleurs dans ton dernier exemple Arnaud, comment on peut faire pour trouver les coefficient $i$, $j$ et $k$ ? je serai un peu coincé là... Utiliser le fait qu'il annule forcément l'endomorphisme correspondant ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:13

Ouais moi aussi je serais un peu coincé...ou plutôt pas motivé de tout calculer :D

Je pense que dans ce genre de cas, l'informatique est d'un soutien infini, mais je suis preneur si quelqu'un a une belle méthode à donner.
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:31

Ca marche.
Donc nécessairement le polynome minimal est $X(X^2+14)$ ?

Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $A$
Les valeurs propres sont $\lambda=0$, $\lambda=\sqrt{14}$ ou $\lambda=-\sqrt{14}$ ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:33

Non, il manque quelquechose dans ce que tu as écrit...
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:45

Non je me suis trompé.
Les valeurs propres sont $\lambda=0$ ! (valeurs propres triple)

?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:48

Tout dépend si tu travailles dans $\R$ ou dans $\C$, il faut être précis.
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Messagepar Kazik » Mercredi 18 Octobre 2006, 16:54

ici, on est dans $\R$.
Donc 0 est valeur propre triple ?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 18 Octobre 2006, 17:05

0 est la seule valeur propre dans $\R$, oui.
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