Polynome minimal et Polynome caractéristique

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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 18:35

sorry,

$det(B-XI)=det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$ ?
Dernière édition par Kazik le Mardi 24 Octobre 2006, 20:39, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 20:08

Kazik a écrit:Aussi, on a $det(B-XI)=det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-XI)$ ?

Le déterminant n'est pas linéaire et une curieuse factorisation de surcroît.
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 20:27

Oui, mais comment calculer le polynome caractéristique alors ?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 20:37

Kazik a écrit:Oui, mais comment calculer le polynome caractéristique alors ?

Tu peux, par exemple, revoir ta technique de factorisation précédente (le déterminant est une forme $n$-linéaire alternée et surtout $n$-linéaire ici).
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 20:39

sorry,

$det(B-XI)=det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$ ?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 20:50

Kazik a écrit:sorry,

$det(B-XI)=det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$ ?

C'est mieux pour la factorisation mais ici le déterminant est trilinéaire.
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 20:51

trilinéaire ?
c'est à dire ?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 20:53

Kazik a écrit:trilinéaire ?
c'est à dire ?

La matrice $B-XI$ est d'ordre 3 et le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne de la matrice.
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 20:57

Mais je peux trouver le polynome caractéristique comme ceci quand même ?
$det(B-XI)=14^{1002}\begin{vmatrix}-5-\frac{X}{14^{1002}}&-3&6\\-3&-13-\frac{X}{14^{1002}}&-2\\6&-2&-10-\frac{X}{14^{1002}}\end{vmatrix}$

?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 21:04

Oui, mais le déterminant est trilinéaire et non linéaire donc on factorise dans chaque colonne par $14^{1002}$. Après, un petit changement de variable pour simplifier les calculs puis retour à la variable initial pour les valeurs propres.
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 21:06

$(14^{1002})^4\begin{vmatrix}(\frac{-5}{14^{1002}}-X)&\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{6}{14^{1002}}\\\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{-13}{14^{1002}}-X&\frac{-2}{14^{1002}}\\\frac{6}{14^{1002}}&\frac{-2}{14^{1002}}&\frac{-10}{14^{1002}}-X\end{vmatrix}$

comme ceci?
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 21:09

Ok, j'ai éditer
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 21:09

Kazik a écrit:$14^{1002}14^{1002}\begin{vmatrix}(\frac{-5}{14^{1002}}-X)&\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{6}{14^{1002}}\\\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{-13}{14^{1002}}-X&\frac{-2}{14^{1002}}\\\frac{6}{14^{1002}}&\frac{-2}{14^{1002}}&\frac{-10}{14^{1002}}-X\end{vmatrix}$

comme ceci?

Il y a trois colonnes.
[edit : finalement, comme tes coefficients sont faux, je retire la phrase : je ne sais pas, finalement, si le changement de variable est intéressant.]
Dernière édition par guiguiche le Mardi 24 Octobre 2006, 21:13, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 21:10

Kazik a écrit:$(14^{1002})^4\begin{vmatrix}(\frac{-5}{14^{1002}}-X)&\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{6}{14^{1002}}\\\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{-13}{14^{1002}}-X&\frac{-2}{14^{1002}}\\\frac{6}{14^{1002}}&\frac{-2}{14^{1002}}&\frac{-10}{14^{1002}}-X\end{vmatrix}$

comme ceci?

D'où vient le 4 de l'exposant ?
[edit : je ne suis pas convaincu par tes coefficients]
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 21:16

Je met $14^{1002}$ 3 fois en facteurs car il y a trois colonnes donc $(14^{1002})^3$

Mais on calcule
$det(B-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$

Donc $14^{1002}$ est déja en facteur d'ou le puissance 4 non ?
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 21:25

Il y a une erreur dans les coefficients !
$(14^{1002})^3\begin{vmatrix}(\frac{-5}{14^{1002}}-\frac{X}{(14^{1002})^2})&\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{6}{14^{1002}}\\\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{-13}{14^{1002}}-\frac{X}{(14^{1002})^2}&\frac{-2}{14^{1002}}\\\frac{6}{14^{1002}}&\frac{-2}{14^{1002}}&\frac{-10}{14^{1002}}-\frac{X}{(14^{1002})^2}\end{vmatrix}$

?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 21:30

Kazik a écrit:Mais on calcule
$det(B-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$

Pourquoi ce coefficient devant le déterminant ?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 21:31

Kazik a écrit:Il y a une erreur dans les coefficients !
$(14^{1002})^3\begin{vmatrix}(\frac{-5}{14^{1002}}-\frac{X}{(14^{1002})^2})&\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{6}{14^{1002}}\\\frac{-3}{14^{1002}}&\frac{-13}{14^{1002}}-\frac{X}{(14^{1002})^2}&\frac{-2}{14^{1002}}\\\frac{6}{14^{1002}}&\frac{-2}{14^{1002}}&\frac{-10}{14^{1002}}-\frac{X}{(14^{1002})^2}\end{vmatrix}$

?

Reprends sereinement tes calculs depuis le début : écris la matrice $B-XI$ puis son déterminant puis les factorisations, puis le calcul du déterminant proprement dit.
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 21:32

car $B=14^{1002}A^2$
donc $det(B-XI)=det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$ non ?
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 21:33

Ok je reprend tout
$B-XI=14^{1002}A^2-XI$

$A=\begin{pmatrix}0&2&1&\\-2&0&3&\\-1&-3&0&\end{pmatrix}$ d'ou $A^2=\begin{pmatrix}-5&-3&6\\ -3&-13&-2\\ 6&-2&-10\end{pmatrix}$

Donc :
$14^{1002}A^2=\begin{pmatrix}-5.14^{1002}&-3.14^{1002}&6.14^{1002}\\ -3.14^{1002}&-13.14^{1002}&-2.14^{1002}\\6.14^{1002}&-2.14^{1002}&-10.14^{1002}\end{pmatrix}$

Soit :
$14^{1002}A^2-XI=\begin{pmatrix}-5.14^{1002}-X&-3.14^{1002}&6.14^{1002}\\ -3.14^{1002}&-13.14^{1002}-X&-2.14^{1002}\\6.14^{1002}&-2.14^{1002}&-10.14^{1002}-X\end{pmatrix}$

C'est bon pour l'instant?
Dernière édition par Kazik le Mardi 24 Octobre 2006, 21:50, édité 1 fois.
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