Polynome minimal et Polynome caractéristique

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 14:53

Oui! Désolé!
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 14:54

En fait, j'ai fait :

$\begin{pmatrix}-5&-3&6\\-3&-13&-2\\6&-2&-10\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}-5&-3&6\\-3&-13&-2\\6&-2&-10\end{pmatrix}+14I)$
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 14:57

OK
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 15:03

Donc $P_{min}=X(X+14)$.
Les valeurs propres sont donc : $\lambda=0$, $\lambda=-14$ (qui est valeur propre double).
On a donc : $E_{0}=Ker(f-0Id)=Ker(f)$ ?
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 15:21

Plutot $E_0=Ker(B)$

Je trouve un systeme :
$14^{1002}\begin{pmatrix}-5&-3&6\\-3&-13&-2\\6&-2&-10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Je résoud et trouve :
$E_0=Vect\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:30

Ca semble correct pour $E_0(B)$.
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:42

Ok maintenant je fais :
$E_{-14}=Ker(B+14I)$

On trouve encore un systeme :
$14^{1002}\begin{pmatrix}9&-3&6\\-3&1&-2\\6&-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Je résoud et trouve :
$E_{-14}=Vect(\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\0\\1\end{pmatrix})$

[edit guiguiche : je résous]
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:45

Le premier vecteur n'est pas dans le noyau. Pour le second, c'est bon.
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:46

Euh $\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\1\\0\end{pmatrix}$ !
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:48

C'est nettement mieux. Es-tu sûr d'avoir une base de $E_{-14}(B)$ ?
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:49

En résolvant le système, c'est ce que j'obtiens.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:50

Kazik a écrit:En résolvant le système, c'est ce que j'obtiens.

OK, ta résolution te donne deux vecteurs. Ma question est un peu différente : es-tu sûr d'avoir obtenu une base ?
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:53

Une base de quoi ?
Une base de $E_{-14}$ ?

Oui, enfin je pense, pourquoi non ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:57

Kazik a écrit:Une base de quoi ?
Une base de $E_{-14}$ ?

Oui, enfin je pense, pourquoi non ?

Tu as dit précédemment que -14 était valeur propre double ainsi tu dois obtenir un sous espace propre de dimension 2. Je te demandes simplement de me dire pourquoi les vecteurs obtenu forment une base de ce sous espace propre (je veux juste m'assurer que tu maîtrises à fond les notions).
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 17:59

On obtient deux vecteurs non-colinéaire, non ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 22 Octobre 2006, 18:02

Kazik a écrit:On obtient deux vecteurs non-colinéaire, non ?

Oui, je cherchais à savoir si tu l'avais remarqué (car c'est important et il faut le dire) ou bien si c'était passé à la trappe.
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Messagepar Kazik » Dimanche 22 Octobre 2006, 18:05

Ok merci beaucoup pour m'avoir aidé guiguiche et Arnaud.
:D
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 17:03

Encore une question!!

On a trouvé $B=14^{1002}A^2$

$P_{min,B}=X(X+14)$

Donc il faut que $B(B+14I)=0$ soit $14^{1002}A^2(14^{1002}A^2+14I)=0$

mais moi j'avais calculé $A^2(A^2+14I)$ (qui est bien égal à 0) ce qui est différent, non ?
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Messagepar guiguiche » Mardi 24 Octobre 2006, 17:46

Kazik a écrit:mais moi j'avais calculé $A^2(A^2+14I)$ (qui est bien égal à 0) ce qui est différent, non ?

Cela paraît ennuyeux en effet. Il faut reprendre tes calculs pour $B$ : est-ce vraiment le coefficient $14^{truc}$ ?
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Messagepar Kazik » Mardi 24 Octobre 2006, 18:29

guiguiche a écrit:Ah oui c'est lourd !!
Plus simple que :

$$A^{2006}=P D^{2006} P^{-1}$$


(après diagonalisation dans $\C$) ce n'est pas sûr. On peut aussi utiliser le polynôme caractéristique et la division euclidienne pour écrire :

$$\forall n\in\N,\;A^n = a_n A^2 +b_n A +c_n I$$


puis déterminer les expressions des trois suites récurrentes (qui sont linéaires d'ordre 3) donc est-ce vraiment mieux ?


Je crois bien oui
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