Points fixes et difféomorphisme

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Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Samedi 07 Décembre 2013, 12:24

Bonjour.
Encore un exercice que je ne sais pas appréhender bien que je commence à bien avoir le cours en tête.
Soient $f:`\R^N\to \R^N$ une application de classe $C^1$, et $U$ un ouvert de $\R^N$. On suppose que $0$ appartient à $U$, et que que $0$ est un point fixe de $f$.

a) Montrer qu'il existe $n_0\in\N$, tel que, pour tout $n\geq n_0$, $x_n$ appartient à $U$.

Si $\ds\lim_n(x_n)=0$ et que $f(0)=0$, cela veut dire qu'à partir d'un certain $n$, $x_n$ va se rapprocher de $0$ et appartenir à $U$.
Mais pour l'écrire correctement, je ne sais pas.

Pour les 2 questions suivantes, je ne sais pas par où commencer.
b) Montrer qu'il existe une suite extraite $(x_{\varphi(k)})_{k\in\N}$ telle que la suite :

$$\Big(\dfrac{x_{\varphi(k)}}{||x_{\varphi(k)}||}\Big)_{k\in\N}$$


soit convergente. On note $v$ sa limite.


c) Ecrire le développement limité de $f$ à l'ordre $1$ au point $0$.
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Re: points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Samedi 07 Décembre 2013, 17:48

Je suppose que (xₙ) est une suite qui converge vers 0 (ce n'est pas dit…). Il suffit de prendre la définition de la limite d'une suite avec les ε, les N et tout ce qui s'ensuit, et d'ajouter la remarque qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

Pour c), on prend tout simplement la définition de l'application linéaire tangente.

Enfin pour b), quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites ?

B.A.
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Re: points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Dimanche 08 Décembre 2013, 20:48

Désolé, j'en ai oublié un bout.
Soient $f:`\R^N\to \R^N$ une application de classe $C^1$, et $U$ un ouvert de $\R^N$. On suppose que $0$ appartient à $U$, et que $0$ est un point fixe de $f$.
1)Dans cette question, on suppose qu'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers $0$ et telle que, pour chaque entier $n$, $x_n$ est un point fixe de $f$ distinct de $0$.
a) Montrer qu'il existe $n_0\in\N$, tel que, pour tout $n\geq n_0$, $x_n$ appartient à $U$.


Je patauge.
définition de la limite d'une suite avec les ε, les N et tout ce qui s'ensuit, et d'ajouter la remarque qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

$\forall \varepsilon>0,\exists n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$
Enfin pour b), quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites ?

La définition de l'adhérence parle de convergence de suites extraites.

On sait aussi que si $\lim u_n=l$, toutes les suites extraites convergent aussi vers $l$.
Pour c), on prend tout simplement la définition de l'application linéaire tangente.

$Df(0)(h)=f(0+h) -f(0)=f(h)$ ?
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Re: points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Lundi 09 Décembre 2013, 02:02

paspythagore a écrit:Je patauge.
définition de la limite d'une suite avec les ε, les N et tout ce qui s'ensuit, et d'ajouter la remarque qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

$\forall \varepsilon>0,\exists n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$

Non : ∀ε > 0,∃N, ∀n $\geqslant$ N, …

Enfin pour b), quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites ?

La définition de l'adhérence parle de convergence de suites extraites.

Je n'ai pas demandé quelle définition.
On sait aussi que si $\lim u_n=l$, toutes les suites extraites convergent aussi vers $l$.

Oui, mais ça, c'est une trivialité. Je voulais dire « quel(s) théorème(s) d'importance ».

Pour c), on prend tout simplement la définition de l'application linéaire tangente.

$Df(0)(h)=f(0+h) -f(0)=f(h)$ ?

Exactement.

B.A.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Lundi 09 Décembre 2013, 21:32

Bonsoir.
Soient $f:\R^N\to \R^N$ une application de classe $C^1$, et $U$ un ouvert de $\R^N$. On suppose que $0$ appartient à $U$, et que $0$ est un point fixe de $f$.
1)Dans cette question, on suppose qu'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers $0$ et telle que, pour chaque entier $n$, $x_n$ est un point fixe de $f$ distinct de $0$.
a) Montrer qu'il existe $n_0\in\N$, tel que, pour tout $n\geq n_0$, $x_n$ appartient à $U$.

définition de la limite d'une suite avec les ε, les N et tout ce qui s'ensuit, et d'ajouter la remarque qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

Je suis allé trop vite.
$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$
Comme un ouvert est un voisinage de chacun de ses points, $x_n\in U$

b) Montrer qu'il existe une suite extraite $(x_{\varphi(k)})_{k\in\N}$ telle que la suite :

$$\Big(\dfrac{x_{\varphi(k)}}{||x_{\varphi(k)}||}\Big)_{k\in\N}$$



soit convergente. On note $v$ sa limite.

Enfin pour b), quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites ?

Je ne vois pas du tout.
Il y a le th. de Bolzano-Weierstrass, mais je ne vois pas le rapport avec la question.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Mardi 10 Décembre 2013, 00:21

paspythagore a écrit:1)Dans cette question, on suppose qu'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers $0$ et telle que, pour chaque entier $n$, $x_n$ est un point fixe de $f$ distinct de $0$.

Donc tous les termes de la suite sont fixes par f ?

$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$
Comme un ouvert est un voisinage de chacun de ses points, $x_n\in U$

Je ne vois pas comment la première ligne entraîne la seconde.

Enfin pour b), quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites ?

Je ne vois pas du tout.
Il y a le th. de Bolzano-Weierstrass, mais je ne vois pas le rapport avec la question.

Considérez la suite (xₙ/∥xₙ∥).
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Mardi 10 Décembre 2013, 19:19

Je désespère de comprendre un jour cet exercice.
Donc tous les termes de la suite sont fixes par f ?

Oui, mais nous voulons que $x_n\in\N$.

Considérer $\Big(\dfrac{x_n}{||x_n||}\Big)_{x\in\N}$ ou $\Big(\dfrac{x_{\varphi_n}}{||x_{\varphi_n}||}\Big)_{x\in\N}$ ne m'éclaire pas et je relis et relis mon cours pour trouver quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites sans succès.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Mardi 10 Décembre 2013, 20:45

paspythagore a écrit:
Donc tous les termes de la suite sont fixes par f ?

Oui, mais nous voulons que $x_n\in\N$

Comment ça ? Il s'agit bien de suites dans R$^{\mathsf N}$ ?
Considérer $\Big(\dfrac{x_n}{||x_n||}\Big)_{x\in\N}$ ou $\Big(\dfrac{x_{\varphi_n}}{||x_{\varphi_n}||}\Big)_{x\in\N}$ ne m'éclaire pas et je relis et relis mon cours pour trouver quels théorèmes parlent de convergence de suites extraites sans succès.

Ces vecteurs ont quelle norme ? Et donc ils appartiennent à quel sous-ensemble de R$^{\mathsf N} $ ?

B.A.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Mardi 10 Décembre 2013, 21:51

Pardon, $X_n\in\R^N$.
Ces vecteurs sont de normes $1$.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Mardi 10 Décembre 2013, 22:38

Ils appartiennent donc à …

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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Mercredi 11 Décembre 2013, 18:54

...la boule unité fermée.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Mercredi 11 Décembre 2013, 19:14

Oui. Ou à la sphère-unité. Et ces deux-là ne seraient pas un peu compactes ?

B.A.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Jeudi 12 Décembre 2013, 08:48

Et toute suite appartenant la sphère unité possède une valeur d'adhérence dans ce compact. Ce qui veut dire que toute suite appartenant la sphère unité, on peut extraire une sous-suite convergente dans ce compact.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Jeudi 12 Décembre 2013, 10:46

C'est bien ça.

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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Jeudi 12 Décembre 2013, 11:47

Merci.

Il me reste à comprendre la première question.
Soient $f:\R^N\to \R^N$ une application de classe $C^1$, et $U$ un ouvert de $\R^N$. On suppose que $0$ appartient à $U$, et que $0$ est un point fixe de $f$.
1)Dans cette question, on suppose qu'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers $0$ et telle que, pour chaque entier $n$, $x_n$ est un point fixe de $f$ distinct de $0$.
a) Montrer qu'il existe $n_0\in\N$, tel que, pour tout $n\geq n_0$, $x_n$ appartient à $U$.

avec vos indications :
balf a écrit:Il suffit de prendre la définition de la limite d'une suite avec les ε, les N et tout ce qui s'ensuit, et d'ajouter la remarque qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$
Donc $B(0,x_n), d(x_n,0)<\varepsilon$ est voisinage de chacun de ses points, c'est à dire $\exists N, \forall n\geq N\exists U=B(0,x_n), x_n\in U$ ?
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Jeudi 12 Décembre 2013, 21:41

Ça veut dire quoi, B(0,xₙ) ?

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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Jeudi 12 Décembre 2013, 21:50

La valeur du n-ième terme de la suite $(x_n)_{n\in\N}$.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Vendredi 13 Décembre 2013, 01:13

xₙ appartient donc à U = B(0, xₙ), c'est-à-dire xₙ appartient au n-ième terme de la suite (xₙ), ou encore xₙ appartient à xₙ ? Il y a comme un problème…

B.A.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Vendredi 13 Décembre 2013, 14:14

Est ce que tous les carrés de xₙ signifient $_n$ ou est ce que xₙ=$x_n$ ?
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Vendredi 13 Décembre 2013, 15:00

paspythagore a écrit:Est ce que tous les carrés de xₙ signifient $_n$ ou est ce que xₙ=$x_n$ ?


Je ne comprends pas ce que vous entendez par « tous les carrés de xₙ ». En tout cas, c'est bien la deuxième interprétation qui est la bonne.

B.A.
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