Points fixes et difféomorphisme

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

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Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Vendredi 13 Décembre 2013, 16:21

Un problème d'affichage de vos formules mathematiques. les $x_n$ notamment ne s'affichent pas sur le forum. Il y a xₙ qui est probablement lisible chez vous mais qui dans les trois endroits où je consulte le forum, affiche un x avec un carré à côté.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Vendredi 13 Décembre 2013, 16:42

Ah ! Je n'avais pas pensé à ça. Effectivement, j'utilise pour mon navigateur des polices d'affichage (relativement) récentes (DejaVu Sans, ou Segoe UI), parce que je trouve que les polices sans empattements sont plus lisibles sur écran que les polices par défaut de TeX, j'utilise leurs possibilités : lettres grecques, exposants et indices et quelques symboles de maths. Ça va un peu plus vite que le code LaTeX. De fait, moi je les vois ; je n'ai jamais eu de retour. Mais peut-être les gens sont (trop) polis…

Y en a-t-il d'autres que vous ne voyiez pas ? J'en tiendrai compte.

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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Vendredi 13 Décembre 2013, 16:54

Merci, ça va aller à part le message ci-dessous.
Effectivement, j'ai tendance à être direct. Je m'excuse si c'est "trop" direct.
Je vais essayer d'installer ces polices.
balf a écrit:xₙ appartient donc à U = B(0, xₙ), c'est-à-dire xₙ appartient au n-ième terme de la suite (xₙ), ou encore xₙ appartient à xₙ ? Il y a comme un problème…

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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Vendredi 13 Décembre 2013, 17:00

@ paspythagore : je n'ai pas du tout voulu dire que vous étiez impoli. Simplement que les gens n'osent pas forcément signaler qu'il y a un problème, alors qu'ils devraient.

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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Vendredi 13 Décembre 2013, 19:01

Je n'arrive pas à lire ce passage (les $x_{quelquechose}$)
balf a écrit:xₙ appartient donc à U = B(0, xₙ), c'est-à-dire xₙ appartient au n-ième terme de la suite (xₙ), ou encore xₙ appartient à xₙ ? Il y a comme un problème…

B.A.


Je n'ai pas réussi à installer correctement DéjaVu pourtant Firefox me le propose. J'ai modifié les options de police par défaut comme suit :
police par défaut : DéjaVu sans sétif

proportionnelle : serif
Serif : DéjaVu Serif
Sans Serif : DéjaVu Sans
kargeur fixe : DéjaVu Sans Mono

Occidental (ISO-8859-1)

J'ai Windows XP et firefox chez moi et vous ?
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Vendredi 13 Décembre 2013, 21:58

Je reprends le passage en code LaTeX :

$\mathsf{x_n}$ appartient donc à $\mathsf{U=B(0,x_n)}$, c.-à-d. $\mathsf{x_n}$ appartient au n-ième terme de la suite $(\mathsf{x_n})$, ou encore $\mathsf{x_n}$ appartient à $\mathsf{x_n}$ ?


Ça correspond à vos messages postés jeudi soir, où vous expliquiez que $\mathsf{B(0,x_n)}$ désignait le n-ième terme de la suite $\mathsf{(x_n)}$, ce qui est incompréhensible pour moi.

J'utilise Windows 7 et, généralement, Opera (ancienne version), accessoirement Firefox. Mais DejaVu devrait s'installer sans problème dans le dossier Fonts de Windows, je ne comprends pas.

B.A.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Samedi 14 Décembre 2013, 13:46

paspythagore a écrit:Merci.

Il me reste à comprendre la première question.
Soient $f:\R^N\to \R^N$ une application de classe $C^1$, et $U$ un ouvert de $\R^N$. On suppose que $0$ appartient à $U$, et que $0$ est un point fixe de $f$.
1)Dans cette question, on suppose qu'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ qui tend vers $0$ et telle que, pour chaque entier $n$, $x_n$ est un point fixe de $f$ distinct de $0$.
a) Montrer qu'il existe $n_0\in\N$, tel que, pour tout $n\geq n_0$, $x_n$ appartient à $U$.

avec vos indications :
balf a écrit:Il suffit de prendre la définition de la limite d'une suite avec les ε, les N et tout ce qui s'ensuit, et d'ajouter la remarque qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$
Donc $B(0,x_n), d(x_n,0)<\varepsilon$ est voisinage de chacun de ses points, c'est à dire $\exists N, \forall n\geq N\exists U=B(0,x_n), x_n\in U$ ?

Plutôt donc :
$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$
Donc $B(0,\Vert x_n\Vert), d(x_n,0)<\varepsilon$ est voisinage de chacun de ses points, c'est à dire $\exists N, \forall n\geq N\exists U=B(0,\Vert x_n\Vert), x_n\in U$

La question suivante est :
Montrer que $Df(0)\cdot v=v$

Je ne comprends pas ce que cela veut dire $Df(0)$ est un scalaire égal à $1$ ?
On a d’après la question précédente $Df(0)(h)=f(h)$ mais $Df(0)=1$ ?
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Samedi 14 Décembre 2013, 15:18

C'est très confus.
paspythagore a écrit:Plutôt donc :
$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$

Oui.
Donc $B(0,\Vert x_n\Vert), d(x_n,0)<\varepsilon$ est voisinage de chacun de ses points

Pour moi, cette formule ne veut rien dire.
c'est-à-dire $\exists N, \forall n\geq N\exists U=B(0,\Vert x_n\Vert), x_n\in U$

Ça ne va pas : U est fixé dans l'énoncé, et en plus votre formulation entraîne que toutes les boules B(0,$\mathsf{\Vert x_n\Vert}$) sont égales dès que n est assez grand, donc les x$\mathsf{_n}$ seraient sur un cercle de même rayon, ce qui est peu compatible avec le fait que la suite converge vers 0.

Montrer que $Df(0)\cdot v=v$

Je ne comprends pas ce que cela veut dire $Df(0)$ est un scalaire égal à $1$ ?
On a d’après la question précédente $Df(0)(h)=f(h)$ mais $Df(0)=1$ ?

Ça signifie simplement que l'application différentielle en 0 est l'application identique (laquelle est bien une application linéaire. Ou encore que la matrice jacobienne est la matrice-unité.
De plus, Df(h) n'est certainement pas égal à f(h), parce que f n'est pas une application linéaire.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar paspythagore » Samedi 14 Décembre 2013, 18:02

$\forall \varepsilon>0,\exists N, \forall n\geq N,d(x_n,0)<\varepsilon$

signifie que $\forall n\geq N,x_n\in B(0,\Vert x_n\Vert)$ qui est un voisinage de $0$ comme $U$.

A partir d'une certain $n$, $B(0,\Vert x_n\Vert)\subset U$ et donc $x_n\in U$.

balf a écrit:De plus, Df(h) n'est certainement pas égal à f(h), parce que f n'est pas une application linéaire.


On a pourtant écrit plus haut $Df(0)(h)=f(0+h) -f(0)=f(h)$ et je pensais pouvoir écrire $Df(0)\cdot v=f(v)$

Comme $\ds\lim_{k\to\infty}\dfrac{x_{\varphi(k)}}{||x_{\varphi(k)}||}=v$, il ne reste plus qu’à démontrer que $v$ est un point fixe de $f$.

Mais comment ?
$v$ n'est à priori pas un élément de $(x_n)_{n\in\N}$ ni de $(x_{\varphi(k)})_{k\in\N}$

quoiqu'en fait, on peut peut-être écrire que $f(\dfrac{a}{\Vert a\Vert})=\dfrac{1}{\Vert a\Vert}f(a)=\dfrac{a}{\Vert a\Vert}$ si $f(h)$ est une application linéaire, l'application linéaire tangente en $O$ de $f$.

NB : j'ai bien changé la police d'affichage de mon navigateur, Wikipédia est différent, mais je ne peux toujours pas lire vos caractères.
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Re: Points fixes et difféomorphisme

Messagepar balf » Samedi 14 Décembre 2013, 19:56

Pour le début : je ne comprends pas pourquoi B(0, $\lVert\mathsf{x_n}\rVert$) serait contenu dans U.La boule ouverte B(0,$\varepsilon$) oui, si $\varepsilon$ est assez petit (par définition d'un voisinagede 0). Et justement, si la suite x$\mathsf{_n}$ converge vers 0, c'est que …

Je rectifie : f(h) = Df(0)(h) + o($\Vert$h$\Vert$) — f(h), par rapport à f(0), a une partie linéaire, plus un terme complémentaire, négligeable devant $\Vert$h$\Vert$ au voisinage de 0. Vous avez oublié ce terme complémentaire (et moi aussi, en lisant votre question : je m'étais concentré sur la valeur f(h)…). Mais où demande-t-on de montrer que v = Df(0)(v) ? Ce n'est pas dans les questions initialement indiquées, il y avait juste l'existence d'une limite v.

Pour l'affichage, c'est peut-être dû au fait que vous n'avez pas demandé UTF8 comme encodage par défaut pour votre navigateur. Sinon, ça me dépasse.

B.A.
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