Plan de R^3 et isobarycentre

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Plan de R^3 et isobarycentre

Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 17:41

Bonsoir,

je bute sur un exo qui paraît simple (niveau TS ?) :
on me donne $A(1,0,0)$, $B(3,2,4)$ et $C(1,1,3)$.
Il faut que je détermine le plan qui contient ces trois points ... :oops:
Enfin on demande l'isobarycentre de ces trois points!

(c'est loin tout ceci pour moi!)
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 17:55

Un point et deux vecteurs directeurs donnent directement un système d'équations paramétriques.

Ce système mène à une équation cartésienne en bossant un peu.

@guiguiche : Au programme des 1ères L et des premières S chez nous.... :wink:
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 18:14

Ok,

donc je prend $\vec{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ (non colinéaires) puis le point $A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

On a donc :
$s\vec{AB}+t\vec{AC}+A=s\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s+1\\2s+t\\4s+3t\end{pmatrix}$

ou est le plan :?
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 18:20

Je dirais plutôt :

$$\vec{x}=s\vec{AB}+t\vec{AC}+A=s\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s+1\\2s+t\\4s+3t\end{pmatrix} $$


Et donc tu l'as "écrit le plan" :



$$ \left\{ \begin{array}{l} 
  x = 2s + 1 \\ 
  y = 2s + t \\
  z = 4s + 3t 
  \end{array} \right.} $$



avec $s,t \in \R$
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 18:21

On ne peut pas l'écrire "comme d'habitude" $ax+by+cz+d=0$ ?
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 18:23

Ca s'appelle une équation cartésienne : manipule le système paramétrique pour exprimer $x$, $y$ et $z$ les uns en fonction des autres ( sans $s$ et $t$ ).
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 18:26

Je trouve donc $x-3y+z-1=0$ ?

l'isobarycentre ? :?
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:03

Tu as vérifié que l'équation était bonne ?

L'isobarycentre de 3 points connaissant leurs coordonnées, c'est très simple, et très naturel aussi.
Je te laisse chercher un peu ( wikipedia :wink: ).
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Messagepar guiguiche » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:05

Et avec le produit vectoriel $\vect{AB}\wedge\vect{AC}$ ? Tu obtiens un vecteur normal dont les coordonnées $(a,b,c)$ sont les coefficients que tu cherches. Pour $d$, le plan passe par $A$.

@Arnaud : connais pas le prog de 1L et plus bien celui de 1S. Par contre, je vois bien ce que savent faire (ou pas faire) les élèves en arrivant avec leur bac S en poche.

[edit : @MB/nirosis, et oui, quand on édite, il n'y a plus de signature.]
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:08

Ha oui, j'ai même pas pensé qu'il connaissait le produit vectoriel !
L'habitude....
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:12

Je crois que l'équation est bonne car les coordonnées des points vérifient cette équation.
Ensuite pour l'isobarycentre c'est la barycentre de $(A,1),(B,1),(C,1)$ ?

Je ne connais pas le produit vectoriel !!
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:16

Ha, donc j'ai bien fait, mais cela m'étonne que tu ne connaisses pas...

En effet l'équation est juste, mais il faut toujours avoir le réflexe de vérifier ce genre de choses.
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Messagepar guiguiche » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:17

Kazik a écrit:Je ne connais pas le produit vectoriel !!


Non ? On ne voit plus ça à la fac ? (déjà qu'on le fait plus en TS depuis pas longtemps)
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:21

Beh je vais peut-être le faire, mais je ne l'est pas encore vu!
Pour mon isobarycentre :D
En faite je m'aperçois que j'ai oublier la définition d'un barycentre !
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Messagepar Arnaud » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:25

Eurf... :? :D

Raison de plus pour chercher sur wikipedia.
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 19:41

lol

donc $G$ barycentre de $(A,a),(B,b),(C,c)$ signifie que :

[center]$a\vect{GA}+b\vect{GB}+c\vect{GC}=\vect{0}$ avec $a+b+c\neq0$[/center]

(je me souviens qu'il y avait une autre équation avec la somme des coefficients en dénominateur, mais je n'arrive plus à trouver laquelle !)

donc ici $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec{0}$
soit

$$\begin{pmatrix}x_A-x_G\\y_A-y_G\\z_A-z_G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_B-x_G\\y_B-y_G\\z_B-z_G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_C-x_G\\y_C-y_G\\z_C-z_G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$



d'où :

$x_A+x_B+x_C-3x_G=0 \Rightarrow 3x_G=x_A+x_B+x_C=5 \Rightarrow x_G=\frac{5}{3}$
$y_A+y_B+y_C-3y_G=0 \Rightarrow 3y_G=y_A+y_B+y_C=3 \Rightarrow y_G=1$
$z_A+z_B+z_C-3z_G=0 \Rightarrow 3z_G=z_A+z_B+z_C=7 \Rightarrow z_G=\frac{7}{3}$

et donc :

$$G\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\1\\\frac{7}{3}\end{pmatrix}$$



c'est cela ?
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 21:32

ceci doit etre faux ...
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Messagepar guiguiche » Jeudi 16 Novembre 2006, 21:43

Kazik a écrit:ceci doit etre faux ...

J'en sais rien, j'ai pas refait tes calculs. Mais la méthode est correcte;
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Messagepar Kazik » Jeudi 16 Novembre 2006, 21:50

Mais quand on dit déterminer l'isobarycentre, ceci signifie que l'on doit déterminer les coordonées d'un point ?
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Messagepar guiguiche » Jeudi 16 Novembre 2006, 21:53

Kazik a écrit:Mais quand on dit déterminer l'isobarycentre, ceci signifie que l'on doit déterminer les coordonées d'un point ?

Cela dépend du contexte.
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