Pgcd de polynômes dans C[X]

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Pgcd de polynômes dans C[X]

Messagepar Boonie » Mercredi 06 Septembre 2006, 20:26

Bonjour à tous,
je bloque sur un exercice :oops: dont voici l'énoncé:

a un nbre complexe non nul, n et m 2entiers naturels>0

Montrer que $pgcd(X^n -a^n , X^m - a^m)= X^r - a^r$
$r=pgcd(m,n)$


voilà.

j'ai commencé par décomposer ces polynômes en produits de facteurs irréductibles. je me suis dit qu'ils ont r facteurs en commun. j'ai écrit a sous forme exponentielle et j'ai essayé de trouver une relation liant m et n mais avec celle-ci je n'aboutit à rien. bref,je ne vois pas comment introduire ce $r=pgcd(m,n)$.. :?:

si vous pouviez m'aider,me donner quelques indices... je vous en serais très reconnaissante.merci
:wink:

[edit nirosis : titre + latex]
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Messagepar P.Fradin » Mercredi 06 Septembre 2006, 20:46

Pensez à l'algorithme d'euclide:

si n=qm+s alors:

$$X^n-a^n=[(X^m)^q-(a^m)^q]\times X^s+(a^m)^q[X^s-a^s]$$



comme $X^m-a^m$ divise $(X^m)^q-(a^m)^q]$, on a:

$$\mathrm{pgcd}(X^n-a^n, X^m-a^m)=\mathrm{pgcd}(X^m-a^m, X^s-a^s)$$



et on passe à l'étape suivante...
P.Fradin
 

Messagepar rebouxo » Mercredi 06 Septembre 2006, 20:50

Bon ben j'allais parler de l'algo d'Euclide, mais bon comme On est plus rapide que moi, je ne dis rien.

Voilà, puisque c'est ça, je boudes. :baby: :crybaby:

Olivier
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Messagepar Boonie » Mercredi 06 Septembre 2006, 21:09

Merci beaucoup P.Fradin!!!( et Rebouxo! :lol: )
je n'y avais pas pensé!je vous remercie bien! :wink:
Boonie
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