p-Sylows du groupe Diédral

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

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p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar woodoo » Samedi 26 Avril 2014, 20:19

Bonsoir,

je coince à nouveau sur un exercice d'algèbre.

Soit $G$ un groupe d'ordre 56. On note $n_2$ (resp. $n_7$) le nombre de 2-Sylows (resp. 7-Sylows) de $G$.
1. Quelles sont les valeurs possibles pour $n_2$ et $n_7$? Si $n_7 > 1$, combien $G$ possède-t-il d'éléments d'ordre 7?
2. Montrer qu'un groupe d'ordre 56 n'est pas simple.
3. Pour le groupe $G = D_28$ des isométries d'un 28-gone régulier dans le plan, que valent $n_2$ et $n_7$?


Je n'ai pas eu de problème pour les points 1. et 2. En bref, $56 = 2^{3} \cdot 7$, $n_2 = 1$ ou 7 et $n_7 = 1$ ou 8, et on utilise ceci comme argument au point 2 pour dire qu'il existe au moins un sous-groupe normal non trivial.

Par contre au point 3, j'ai plus de mal, je ne sais pas trop comment procéder.

Tout d'abord, $D_28$ est engendré par la rotation $R_{\frac{360}{28}}$ d'angle $\frac{360}{28}$ et une symétrie $s$. Donc $D_28 = \{s^{i}R_{\frac{360}{28}}^{j}: i, j \in \Z, s^2 = I, R_{\frac{360}{28}}^{28} = I, sR_{\frac{360}{28}} = R_{\frac{360}{28}}^{-1}s \}$.
Ensuite, je note $A$ le groupe engendré par la rotation d'angle $\frac{360}{7}$. Alors $A = \{Id, \frac{360}{7}, \frac{720}{7}, \frac{1080}{7}, \frac{1440}{7}, \frac{1800}{7}, \frac{2160}{7}\}$, c'est-à-dire qu'il est d'ordre 7, donc c'est un 7-Sylow. De plus, $A$ est normal dans $G$ car pour tout $g$ dans $G$, on a $gAg^{-1} \in A$. Si $g$ est une rotation, alors on a $R_{\frac{360}{28}}^k R_{\frac{360}{7}}^l R_{\frac{360}{28}}^{-k} = R_{\frac{360}{28}}^k R_{\frac{360}{28}}^{-k} R_{\frac{360}{7}}^l = R_{\frac{360}{7}}^l \in A$.
Si $g$ est une symétrie, alors on a $s R_{\frac{360}{7}}^l s = R_{\frac{360}{7}}^{-l} s s =  R_{\frac{360}{7}}^{-l} \in A$, ce qui implique que $A$ est normal dans $G$ et donc $n_7 = 1$.

Par contre pour $n_2$ il me semble que je ne peux pas utiliser ce truc, car le groupe engendré par la rotation de 45° n'a pas d'éléments dans $G$, à part l'identité. Je ne sais pas trop comment faire, et je ne sais même pas à quoi ressemble un élément d'ordre 8 dans $G$.

Merci d'avance pour toute aide, et bonne soirée!
woodoo
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar balf » Samedi 26 Avril 2014, 21:50

On peut le faire de façon purement formelle, par générateurs et relations, mais l'interprétation géométrique aide. Si, pour abréger, on note r la rotation d'angle 2π/28 et s la symétrie d'axe Ox, qu'est-ce que rs ?
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar woodoo » Dimanche 27 Avril 2014, 17:22

C'est dur de décrire ce qui se passe géométriquement, mais si je note 1 le sommet qui est sur l'axe Ox, 2 le sommet suivant (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre), 3 le suivant et ainsi de suite jusqu'à 28, rs donne les sommets dans l'ordre : 28 - 27 - 26 - ... - 3 - 2 - 1.

Pour l'instant, je ne suis pas encore débloqué :/
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar balf » Dimanche 27 Avril 2014, 18:37

Ma question était d'ordre plus général : vous considérez la rotation r d'angle θ et la symétrie s d'axe Ox ; que sont les composée sr et rs ?

B.A.
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar woodoo » Lundi 28 Avril 2014, 18:42

$D_{28}$ est engendré par la rotation $R_{\frac{360}{28}}$ d'angle $\frac{360}{28}$ et une symétrie $s$. Donc $D_{28} = \{s^{i}R_{\frac{360}{28}}^{j}: i, j \in \Z, s^2 = I, R_{\frac{360}{28}}^{28} = I, sR_{\frac{360}{28}} = R_{\frac{360}{28}}^{-1}s \}$.

Je pense qu'alors c'est ça que vous vouliez dire?
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar balf » Lundi 28 Avril 2014, 19:55

Non, ça je le tenais pour acquis. J'ai demandé ce qu'est sr, géométriquement. À une époque, c'était une question de terminale (je veux dire sans théorie des groupes).
Dernière édition par balf le Vendredi 02 Mai 2014, 20:44, édité 1 fois.
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar woodoo » Vendredi 02 Mai 2014, 19:45

Tout d'abord, pour répondre à votre question et en reprenant vos notation, rs et sr sont des symétries. rs est la symétrie dont l'axe forme un angle de r/2 avec Ox, et sr est la symétrie dont l'axe forme un angle de -r/2 avec Ox.

Ensuite, je crois avoir trouvé une manière de calculer le nombre de 2-Sylows.

Considérons le sous-groupe engendré par la rotation $r$ d'angle $\frac{7\cdot 360}{28} = \frac{360}{4}$ et la symétrie $s$ d'axe $Ox$. Alors
$A = \langle rs \rangle = \{Id, r, r^2, r^3, s, rs, r^2s, r^3s\}.$
C'est un sous-groupe de $G$ d'ordre 8. Montrons que $A$ n'est pas normal dans $G$. On montre qu'il existe $g \in G$ tel que $gAg^{-1} \notin A$. Prenons
$g = R_{\frac{360}{28}}$, alors

$$\begin{array}{ccc} 					 R_{\displaystyle\frac{360}{28}}r^{i}s^{j}R_{\displaystyle\frac{360}{28}}^{-1} = r^{i}R_{\displaystyle\frac{360}{28}}R_{\displaystyle\frac{360}{28}}s^j	&=& r^{i}R_{\displaystyle\frac{2\cdot360}{28}}s^j\\ 													&=& r^{i}R_{\displaystyle\frac{360}{14}}s^j\\ 													&=& \underbrace{R_{\displaystyle\frac{360}{14}}\underbrace{r^{i}s^j}_{\in A}}_{\notin A}. 				\end{array}$$


Ceci veut dire que $A$ n'est pas normal dans $G$, et comme $n_{2} = 1$ ou 7, on a nécessairement $n_{2} = 7$.

EDIT: j'ai modifié les formules pour qu'il y ait le rendu LaTeX, j'ai utilisé des displaystyle pour les indices. C'est pas très joli, mais sinon c'était illisible.
Dernière édition par woodoo le Samedi 03 Mai 2014, 08:10, édité 1 fois.
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar balf » Vendredi 02 Mai 2014, 21:20

Mais plus simplement, sr est une deuxième symétrie, donc n₂ = 7.

P.S . : la fin du message précédent est difficilement déchiffrable…

B.A.
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar woodoo » Samedi 03 Mai 2014, 08:02

Mince je viens de voir sur ma tablette qu'il n'y pas le rendu latex alors que je l'ai sur l'ordinateur. Je vais éditer le message.

Par contre j'ai du mal à comprendre comment on peut conclure que puisqu'on a une deuxième symétrie, le nombre de 2-Sylows vaut 7 :oops: . Si vous pouviez m'expliquer le raisonnement derrière, je vous en serais très reconnaissant.

Merci beaucoup pour votre aide, et bonne journée! :)
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Re: p-Sylows du groupe Diédral

Messagepar balf » Samedi 03 Mai 2014, 13:42

Tout simplement parce qu'on sait qu'il y en a 1 ou 7, et que le fait que rs soit une symétrie supplémentaire montre que ça ne peut être 1 !

B.A.
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