Ouvert de R^n

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Ouvert de R^n

Messagepar Kazik » Samedi 14 Octobre 2006, 11:49

Bonjour,

$A+B=\{a+b,a\in A,b\in B\}$
$A$ et $B$ sont 2 parties non vides de $\R^n$ muni d'une norme $||.||$
$a_0$ étant un point.

Je dois montrer que $\{a_0\}+A$ est un ouvert.

Je sais que :
$E$ est un ouvert pour une norme si $\forall a\in E$, $\exists \epsilon>0$ telle que $B(a,\epsilon)\subset E$

Je prend un $x$ dans $B(a,\epsilon)$.
$||x-a||<\epsilon$

et je dois montrer qu'alors $x$ est aussi dans $\{a_0\}+A$ mais je ne vois vraiment pas comment.
pouvez vous m'aidez ?
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Messagepar nirosis » Samedi 14 Octobre 2006, 15:31

Si $A$ est un fermé de $\R^n$, alors $\{a_0 \}+A$ est fermé (c'est juste le translaté d'un fermé)
Tu ne sais rien d'autre sur $A$ ?
Ton énoncé ne me parait pas très clair.
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Messagepar michelll » Samedi 14 Octobre 2006, 15:56

Oui, c'est clair qu'il manque une hypothèse genre "A ouvert".

Ensuite montrer que quelque chose est ouvert c'est montrer que tout point de l'ensemble est contenu dans une petite boule ouverte elle aussi incluse dans l'ensemble.

Si tu veux montrer que qqch est ouvert (dans un espace métrique par ex), tu prends un point dedans et tu montres qu'il existe un $r>0$ (qu'on imagine petit)pour que la boule centré au point de rayon $r$ soit encore dans l'ensemble. Fais un dessin pour assimiler cette notion. Montre que $]0,\infty[ est ouvert par exemple (pour la topologie usuelle).

...
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Messagepar Kazik » Dimanche 15 Octobre 2006, 12:37

$]0;+\infty[$ est un ouvert.

Soit $x\in B(a,r)$, $x$ est dans un intervalle du type ]a-r,a+r[.
Il faut que
$0<a-r$
$a+r<+\infty$

<=>
$r<a$
$r<+\infty-a$

Quelle $r$ vérifie ces conditions ?
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raisonnement

Messagepar michelll » Dimanche 15 Octobre 2006, 14:07

Il faut raisonner comme cela :
Soit $x\in ]0,\infty[$. (Puis sur un dessin on constate que $r=x/2$ convient...)
Posons $r=x/2$. Montrons que $B(x,r) \subset ]0,\infty[$. Soit $y\in B(x,r)$. Alors $x-y\le |x-y|<x/2$, ce qui montre que $y>x-x/2=x/2>0$. Donc $y\in ]0,\infty[$.
On vient donc de montrer que $B(x,r) \subset ]0,\infty[$. Cela montre que $]0,\infty[$ est ouvert.
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Re: raisonnement

Messagepar Kazik » Dimanche 15 Octobre 2006, 15:55

Comment traduis-t-on que $y\in B(x,r)$ ?
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Messagepar michelll » Dimanche 15 Octobre 2006, 16:05

$B(x,r):=\{y\in \R \colon |x-y|<r \}$
C'est la boule ouverte de centre x et de rayon r.
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Messagepar Kazik » Dimanche 15 Octobre 2006, 16:34

Dans mon cours c'est $||x-y||<r$?
La différence entre $||.||$ et $|.|$ je ne vois pas ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 15 Octobre 2006, 16:38

Kazik a écrit:Dans mon cours c'est $||x-y||<r$?
La différence entre $||.||$ et $|.|$ je ne vois pas ?

Il n'y en a pas vraiment : la notion de norme est une généralisation à $\R^n$ de la valeur absolue dans $\R$ (même si certaines normes ont une expression sophistiquée).
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Messagepar Kazik » Dimanche 15 Octobre 2006, 16:42

$||x-y||<r \Leftrightarrow -r<x-y<r \Leftrightarrow y-r<x<y+r $, ceci reste vrai alors même dans $\R^n$ ?
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Messagepar guiguiche » Dimanche 15 Octobre 2006, 16:46

Kazik a écrit:$||x-y||<r \Leftrightarrow -r<x-y<r \Leftrightarrow y-r<x<y+r $, ceci reste vrai alors même dans $\R^n$ ?

Il n'y a pas de relation d'ordre dans $\R^n$ lorsque $n\geq2$ (d'ailleurs dans aucun espace vectoriel). C'est pour cela que l'on parle de boules (ensembles de vecteurs).
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Messagepar michelll » Dimanche 15 Octobre 2006, 17:26

Il faut penser une norme sur $\R^n$ comme une distance à l'origine (pense à $||(x,y)||=\sqrt{x^2+y^2}$ dans $\R^2$). C'est quelque chose qui généralise la valeur absolue; voir par ex

http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques

Sinon, il n'est pas vrai que $\R^n$ n'admet pas de relation d'ordre :
ex: sur $\R^2$ la relation $X=(x_1,x_2) \le Y=(y_1,y_2)$ si et seulement si $y_1-x_1 \ge 0$ et $x_2=y_2$

est une relation d'ordre.

Par ailleurs en admettant le lemme de Zorn, tout ensemble peut etre bien ordonné (ie toute partie admet un plus petit élément) !
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Messagepar guiguiche » Dimanche 15 Octobre 2006, 17:54

michelll a écrit:Sinon, il n'est pas vrai que $\R^n$ n'admet pas de relation d'ordre :
ex: sur $\R^2$ la relation $X=(x_1,x_2) \le Y=(y_1,y_2)$ si et seulement si $y_1-x_1 \ge 0$ et $x_2=y_2$
est une relation d'ordre.

Je voulais simplement mentionner que l'on ne compare pas les vecteurs (comme les complexes) en général.
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Messagepar Samurai_2k5 » Mardi 17 Octobre 2006, 08:56

Salut,

La fonction translation ($f(x)=a^0+x$) est bien continue sur $R^n$ .....
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Messagepar Kazik » Vendredi 17 Novembre 2006, 13:47

J'en reviens à cette exercice laissé en suspen!!
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Messagepar Kazik » Vendredi 17 Novembre 2006, 14:10

J'avais donc bien oublier une hypothèse :
il faut montrer que $\{a_0\}+A$ est ouvert si $A$ est ouvert.

donc si $A$ est ouvert :
$\forall a\in A$, $\exists \epsilon >0$ telle que $B(a,\epsilon)\subset A$

il faut montrer qu'alors $\{a_0\}+A$ :
$\forall b\in \{a_0\}+A$, $\exists r >0$ telle que $B(b,r)\subset \{a_0\}+A$

je vois pas comment démarrer!
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Messagepar guiguiche » Vendredi 17 Novembre 2006, 14:14

Samurai_2k5 a écrit:Salut,

La fonction translation ($f(x)=a^0+x$) est bien continue sur $R^n$ .....

Tout est dit Kazik (encore que j'aurai considéré $x\mapsto x-a_0$).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Kazik » Vendredi 17 Novembre 2006, 14:18

On note $B=a_0+A$ et $f: x\to a_0+x$ continue.
On a alors $B=f^{-1}(A)$ ?
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Messagepar guiguiche » Vendredi 17 Novembre 2006, 14:20

Non, c'est : $B=f(A)$. C'est pour cela que je te proposais une autre translation.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Kazik » Vendredi 17 Novembre 2006, 14:23

euh ... $f^{-1}(X)$ c'est bien $f(x)=X$ ?
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