Ouvert de ExE

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Ouvert de ExE

Messagepar rador » Jeudi 17 Novembre 2011, 21:12

Bonsoir,

Soit E un espace vectoriel normé sur R. On note A le sous ensemble de ExE des vecteurs non colinéaires de E, et je cherche à montrer que A est un ouvert. Pour cela j'essaie de montrer que A\E est un fermé, je considère donc une suite $(x_{n},y_{n})$ tendant vers $(x,y) \in E$, et j'aimerais montrer qu'il existe $\lambda$ tel que $y=\lambda x$ ou $x=0$.

On sait que $\forall n \in \mathbb{N}, y_{n}=\lambda_{n} x_{n}$ ou $x_{n}=0$
De là, je considère $\{n,x_{n}=0\}$. S'il est infini alors $x=0$ donc c'est bon, sinon il existe un rang à partir duquel on a toujours $y_{n}=\lambda_{n} x_{n}$

Ensuite deux cas, si $x=0$ c'est bon, sinon on a donc :

$$|\lambda_{n}| \xrightarrow{n \to \infty} \frac{||y||}{||x||} $$



De là je n'arrive pas à conclure... :(
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Re: Ouvert de ExE

Messagepar OG » Jeudi 17 Novembre 2011, 21:33

Bonsoir

Si la suite $\lambda_n$ est bornée (ici elle est plus que bornée vu que $|\lambda_n|$
converge) on doit pouvoir en tirer quelque chose non ?


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Re: Ouvert de ExE

Messagepar rador » Jeudi 17 Novembre 2011, 21:41

Ah !
Il existe une suite extraite convergente, et on passe à la limite dans la relation d'où l'égalité recherchée sur les limites, si je ne me trompe pas... Merci beaucoup !
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Re: Ouvert de ExE

Messagepar OG » Jeudi 17 Novembre 2011, 22:15

De rien

Pour info il doit être possible de montrer que $A$ est ouvert, en considérant si $(x,y)$ est
dans $A$, la quantité $\inf\{ \| x-\lambda y\|, \lambda\in \R\}$ (montrer que cette quantité
est strictement positive et l'utiliser pour choisir le bon diamètre de la boule).


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