[Licence L3] Orbites d'une opération

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[Licence L3] Orbites d'une opération

Messagepar Bibaloo » Mardi 15 Août 2006, 20:43

Bonsoir,

Je planche sur un exo qui va sans doute vous paraître évident... moi là je rame !!! Alors si vous avez de quoi m'apporter quelques éléments de réponse, je suis preneuse ! Merci !!
Voilà l'énoncé qui me pose problème :

Soit K un corps. Le groupe GL(2;K) opère naturellement sur l'espace vectoriel K^2 (c'est-à-dire par A.X=AX).
Combien cette opération a-t-elle d'orbites ?

Je n'ai sûrement pas saisi l'ensemble des notions du cours sur les actions de groupes, car pour moi il y a autant d'orbites que d'éléments dans l'ensemble... sauf que, certaines orbites sont égales. Alors, comment avec un énoncé abstrait (à mon goût...) puis-je comparer les orbites entre elles et ainsi déterminer leur nombre ?
Merci d'avance à tout le monde !!!
Bibaloo
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Messagepar José » Mardi 15 Août 2006, 21:48

Bonsoir,

ce que tu dis n'es pas bete du tout...
En fait l'orbite d'un élément $X\in K^2$ est l'ensemble des éléments des éléments $Y\in K^2$ image de $X$ par une matrice de $GL(2,K)$.
En d'autre terme $X$ et $Y$ sont dans la même orbite ssi il existe $M\in GL(2,K)$ tel que $Y=MX$.
Les orbites forment une partition de $K^2$.
José
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Messagepar MB » Mardi 15 Août 2006, 22:49

Que dire par exemple de l'orbite de $0$ ?
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Messagepar Bibaloo » Mercredi 16 Août 2006, 20:17

Bonsoir !!

Tout d'abord, merci beaucoup pour vos réponses ! :D
Je vais tenter de répondre sans vous dire trop de bêtises... en effet vos réponses m'ont fait cogiter mais je n'ai pas l'impression pour autant d'avoir beaucoup progressé dans ma réflexion :(
J'ai bien compris, José, votre explication pour comparer deux orbites... je suis encore en train d'y réfléchir, car pour le cas général je suis encore dans le flou... si j'ai bien compris, il n'y a pas de moyen (dans cet exo) d'écrire concrètement une orbite ? Je veux dire, autrement que par la définition que vous m'avez donné ?
MB, je vais essayer de ne pas dire d'âneries... L'orbite de 0... j'applique la définition d'une orbite à mon énoncé : l'orbite de 0 dans GL(2;K) est l'ensemble des A.X, pour A appartenant à GL(2;K). Dans votre exemple, X=0 donc : A.X=A.0=0. Autrement dit, l'orbite de O dans GL(2;K) est 0 ? N'hésitez pas à me corriger, je ne tiens pas à rester dans un faux raisonnement !
Voilà, je vous remercie encore tous les deux, et si vous souhaitez répondre ou m'apporter d'autres précisions, ce sera avec plaisir !
Bonne soirée !
Bibaloo
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Messagepar MB » Mercredi 16 Août 2006, 21:41

Bibaloo a écrit:Dans votre exemple, X=0 donc : A.X=A.0=0. Autrement dit, l'orbite de O dans GL(2;K) est 0 ? N'hésitez pas à me corriger, je ne tiens pas à rester dans un faux raisonnement !


Oui, c'est ça ! :wink:

En considérant deux vecteurs non nuls $X$ et $Y$, peut on trouver une matrice $A$ de $Gl(2,K)$ telle que $Y=A.X$ ?

Si tel est le cas, alors il n'y a que deux orbites assez simples ...
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Messagepar Bibaloo » Mercredi 16 Août 2006, 21:50

Merci pour la question, je vais la méditer ce soir... je vous posterai une réponse demain !
Bibaloo
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Messagepar Bibaloo » Jeudi 17 Août 2006, 15:08

Alors... c'est en fait ce que José m'avait expliqué plus haut ? Pour Y et X deux vecteurs de K², il existe une matrice M appartenant à GL(2;K) telle que Y=MX, c'est la matrice de passage de la base X à la base Y ?
Dans ce cas, on peut toujours trouver une matrice de passage entre deux vecteurs, mais comment affirmer que les MX sont tous égaux, pour affirmer qu'il n'y a qu'une orbite en dehors de {0} ? Et à ce moment là, l'orbite est MX ?
J'espère que vous n'hallucinez pas trop sur mes incapacités à comprendre... :(
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Messagepar guiguiche » Jeudi 17 Août 2006, 15:31

Bibaloo a écrit:c'est la matrice de passage de la base X à la base Y ?

Non, certainement pas car $X$ n'est pas une base de $K^2$ (puisque c'est un unique vecteur alors que $K^2$ est de dimension 2).
Par contre, l'idée qui t'a été expliqué ici ou ailleurs est la suivante :
Soit $X$ un vecteur non nul. On complète en une base $(X,X')$ de $K^2$.
Soit $Y$ un vecteur non nul. On complète en une base $(Y,Y')$ de $K^2$.
Soit $P$ la matrice de passage de la base $(X,X')$ à la base $(Y,Y')$. Alors, $P$ est une matrice inversible donc un élément de $GL(2,K)$ et on a:

$$X=PY\qquad Y=P^{-1}X$$


Ainsi, tout vecteur non nul $Y$ est dans l'orbite du vecteur non nul $X$.
Conclusion: il y a deux orbites, à savoir $\left{\vec{0}\right}$ et $K^2-\left{\vec{0}\right}$.

Edit: pourquoi les accolades autour du vecteur nul n'apparaissent-elles pas à la dernière ligne de mon message ?
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Messagepar José » Jeudi 17 Août 2006, 17:51

D'accord et pas d'accord avec ce que guiguiche a écrit,
Si $\mathfrak{B}$ et $\mathfrak{B}'$ sont des bases, il existe bien un théorème du cours qui affirme l'existence d'une matrice inversible qui envoie $\mathfrak{B}'$ sur $\mathfrak{B}$.

Si $\mathfrak{B}$ et $\mathfrak{B}'$ sont deux bases et $P$ est la matrice de passage de $\mathfrak{B}$ à $\mathfrak{B}'$ (composée par les vecteurs de $\mathfrak{B}'$ écrit dans la base $\mathfrak{B}$) alors pour tout vecteur $x$ (écrit dans la base canonique) s'écrivant $X$ dans la base $\mathfrak{B}$ et X' dans la base $\mathfrak{B}'$, on a bien : $X=PX'$.


Mais il me semble sauf erreur de ma part que dans la pratique, l'exemple de guiguiche ne fonctionne pas ici (à moins que je ne l'ai pas compris) si on prend $P$ la matrice de passage de la base $(X,X')$ à $(Y,Y')$ alors dans cette seconde base le vecteur colonne $Y$ représenté en général dans la base canonique ne s'écrit pas $Y$ dans la base $(Y,Y')$ mais s'écrit $\left(\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right)$ c'est pour cela que ça ne marche pas ici et on a pas $X=PY$ (j'ai vérifié avec des exemples). Il faut utiliser une autre matrice inversible que celle de passage de $(X,X')$ à $(Y,Y')$.
En notant $\mathfrak{B}=(X,X')$, $\mathfrak{B}'=(Y,Y')$ et $\mathfrak{C}$ la base canonique, il faut d'abord exprimer $Y$ de la base canonique à la base $\mathfrak{B}'$ grâce à $P_{\mathfrak{B}',\mathfrak{C}$ (on obtient alors $^t(1,0)$) puis exprimer $^t(1,0)$ de la base $\mathfrak{B}$ dans la base canonique $\mathfrak{C}$ grâce à $P_{\mathfrak{C},\mathfrak{B}}=(X,X')$, ce qui donne bien $X$ et donc :
$X=P_{\mathfrak{C},\mathfrak{B}}P_{\mathfrak{B}',\mathfrak{C}} Y$.
J'ai essayer pour quelques exemples, sauf erreur de ma part ca a l'air de marcher.
En résumé, $P_{\mathfrak{C},\mathfrak{B}}P_{\mathfrak{B}',\mathfrak{C}}$ est bien une matrice de changement de base (car inversible) mais pas celle de la base $(X,X')$ à $(Y,Y')$!
Qu'en pensez-vous?
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Messagepar José » Jeudi 17 Août 2006, 17:56

J'ajouterai aussi que $P_{\mathfrak{C},\mathfrak{B}}P_{\mathfrak{B}',\mathfrak{C}}\neq P_{\mathfrak{B},\mathfrak{B}'}$
José
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Messagepar guiguiche » Jeudi 17 Août 2006, 18:02

OK, je suis allé un peu vite (c'est trop voulu suivre ce qui avait déjà été écrit par ailleurs où j'ai omis ta remarque José). Plus sûrement :
Soit $f$ l'endomorphisme de $K^2$ qui transforme $X$ en $Y$ et $X'$ en $Y'$ (il est bien défini car on connaît les images d'une base). Comme $f$ transforme une base en une base alors $f$ est bijective. Sa matrice $A$ dans la base $(X,X')$ est donc inversible et vérifie $Y=AX$ ce qui est bien le résultat cherché.
En espérant ne pas avoir raconté de bétise cette fois.
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Messagepar José » Jeudi 17 Août 2006, 18:17

N'y aurait-il pas encore le même problème ?
Si A est la matrice associée à $f$ dans la base (X,X') alors $f(^t(1;0))$=Y puisque X s'écrit $^t(1;0)$ dans (X,X').
Je suis d'accord avec toi pour cette méthode mais l'endomorphisme doit être exprimé, je pense, dans la base canonique.
Je pense aussi que la matrice associé à cette endomorphisme dans la base canonique n'est autre que $P_{\mathfrak{C},\mathfrak{B}}P_{\mathfrak{B}',\mathfrak{C}}$.
José
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Messagepar guiguiche » Jeudi 17 Août 2006, 18:24

Arggg :evil:
Oui, $A$ est la matrice de $f$ dans la base canonique puisque c'est bien là que $X$ et $Y$ y sont exprimés.

Edit : Si la matrice $A$ n'est pas exprimé dans la base canonique alors l'égalité $Y=AX$ est encore valable mais on n'a plus les "bonnes" coordonnées. On peut aussi montrer que tout vecteur non nul est dans l'orbite du premier vecteur de la base canonique, ainsi il n'y a plus d'ambiguïté me semble-t-il.
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Messagepar la main gauche » Mercredi 23 Août 2006, 08:28

guiguiche a écrit:OK, je suis allé un peu vite (c'est trop voulu suivre ce qui avait déjà été écrit par ailleurs où j'ai omis ta remarque José). Plus sûrement :
Soit $f$ l'endomorphisme de $K^2$ qui transforme $X$ en $Y$ et $X'$ en $Y'$ (il est bien défini car on connaît les images d'une base). Comme $f$ transforme une base en une base alors $f$ est bijective. Sa matrice $A$ dans la base $(X,X')$ est donc inversible et vérifie $Y=AX$ ce qui est bien le résultat cherché.
En espérant ne pas avoir raconté de bétise cette fois.


Je ne comprend pas pourquoi vous voulez tous les deux qbsolument revenir aux matrices, l'endomorphisme $f$ est très bien pour répondre à la question de l'OP, non?
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Messagepar José » Mercredi 23 Août 2006, 09:20

Ba disons que c'est bien aussi d'avoir une réponse pratique avec laquelle on peut eventuellement faire des calculs.
José
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