opération par conjugaison

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opération par conjugaison

Messagepar paspythagore » Lundi 27 Mai 2013, 08:38

Bonjour,
il y a une question que je ne me suis jamais posé.
On suppose qu'un groupe $G$ d'ordre $60$ est simple.
Combien y t-il de$3$-Sylows ,
$n_3\neq1$ et $n_3\in\{4,10\}$

Pour démontrer que $n_3\neq4$, je cherche un morphisme non injectif dont je pourrai dire que le noyau distingué est non trivial.

Ma question c'est le début de la démonstration : "$G$ opère sur l'ensemble des $3$-Sylow par conjugaison..." Pourquoi peut on dire cela ?
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Re: opération par conjugaison

Messagepar balf » Lundi 27 Mai 2013, 09:09

Pas seulement sur les 3-sylows. C'est le deuxième théorème de Sylow : tous les p-sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux.

B.A.
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Re: opération par conjugaison

Messagepar paspythagore » Samedi 01 Juin 2013, 15:04

Pour résoudre cette question, un corrigé me donne :
si $n=4$ : alors d’après le cours, $G$ agit transitivement sur $X_3$, d'où un morphisme non trivial :

$$\varphi:G\to S_{X_3}$$

...

La définition d'un groupe opérant sur un ensemble est la suivante :
Soit $E$ un ensemble et $G$ un groupe. on dit que $G$ opère sur $E$ s'il existe une application :

$$\varphi:G\times E\to E$$

telle que :
1/ $\forall x\in E, \varphi(e_G,x)=x$
2/ $\forall x\in E,\forall g\in G, \forall g'\in G, \varphi\left(g,\varphi(g',x)\right)=\varphi(gg',x)$
On choisit de faire opérer $G$ transitivement ou par conjugaison, ça revient au même, ça nous permet de trouver un morphisme non injectif dont le noyau distingué est non trivial ?
A part pour le résultat recherché dans cet exercice et que l'on a $gx$ au lieu de $gxg^{-1}$ qu'est ce qui change en réalité pour notre morphisme et son noyau ?
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Re: opération par conjugaison

Messagepar balf » Samedi 01 Juin 2013, 16:46

paspythagore a écrit: On choisit de faire opérer $G$ transitivement ou par conjugaison, ça revient au même,

Non, ça ne revient pas au même. La conjugaison décrit la façon dont le groupe opère. « Transitivement » décrit une propriété de cette action ; cela correspond au fait que dans l'énoncé du deuxième de Sylow, tous les p-sylows sont conjugués entre eux (l'action correspondant au fait que le conjugué d'un p-sylow est encore un p-sylow).
ça nous permet de trouver un morphisme non injectif dont le noyau distingué est non trivial ?

Oui.
A part pour le résultat recherché dans cet exercice et que l'on a $gx$ au lieu de $gxg^{-1}$

Je ne comprends pas : a-t-on cela ?
qu'est ce qui change en réalité pour notre morphisme et son noyau ?

Qu'est-ce qui change à quel point de vue et par rapport à quoi ?

B.A.
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Re: opération par conjugaison

Messagepar paspythagore » Samedi 01 Juin 2013, 20:14

Aïe, je crains de confondre translation et transitive.
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