Opérateur de Hilbert-Schmidt

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Opérateur de Hilbert-Schmidt

Messagepar moumni » Mardi 25 Octobre 2005, 08:29

Bonjour.

Est ce quelqu'un peut-il me donner la définition d'un opérateur de Hilbert-Schmidt dans un espace de Hilbert séparable ? Est ce que quelqu'un peut me donner une adresse ou je peux trouver une telle définition. et si possible les opérateur integrales de Hilbert-Shmidt.

Merci bien d'avantage pour votre aide.
Amicalement Moumni.
moumni
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Messagepar MB » Mardi 25 Octobre 2005, 10:06

Tu peux regarder ce document (pages 35-36), de Jean-Yves Girard, qui traite des opérateurs en général ...
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Norme d'un opérateur integrale de Hilbert Schmidt

Messagepar moumni » Mercredi 26 Octobre 2005, 09:55

Merci bien MB por votre réponse.
dans la pièce jointe que vous m'avez donné j'ai trouvé la définition de Opérateur de hilbert Schmidt anisi que la définition de sa norme.

Bon je me donne maitenant un opérateur integral que je veux démontrer que c'est un opérateur de Hilbert Schmidt et dont je veux calculer la norme. L'opérateur en question est:

Proposition: Soit $K(x,y)\in  L^{2}(X\times X,\mu\otimes\mu)$, pour tout $f\in L^{2}(X,\Omega,\mu)$ la fonction

<center>$Tf(x)=\int_{X}K(x,y)f(y)d\mu (y)$</center>

est définie par $\mu \;\;p.p.\;x$; $Tf\in L^{2}(X,\Omega,\mu)$. L'application qui à tout $f$ associe $T_f$ est un opérateur de Hilbert Schmidt. Sa norme est:

<center>$|||T|||^{2}=\int_{X}\int_{X}|K(x,y)|^{2}d\mu (x)d\mu (y)$</center>

je veux si vous permettez une indication sur la démonstration de la cette proposition et notamment l'egalité

<center>$|||T|||^{2}=\int_{X}\int_{X}|K(x,y)|^{2}d\mu (x)d\mu (y)$</center>
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Messagepar Ash'Ka » Mercredi 26 Octobre 2005, 11:42

Si ce sont les notations standard, alors, on a bien : $\displaystyle |||T||| = \sup_{|f|\le1} \frac{||T_f||}{|f|}$

Par contre, je ne comprend pas bien quelles sont les normes $||\_||$ et $|f|$ !

Peut-on prendre $\displaystyle |f| = \sqrt{\int_X f^2(x)dx}$ ?

Ca doit pas être de mon niveau ... :p
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Messagepar maskou » Mercredi 26 Octobre 2005, 20:32

Ash'Ka a écrit:Si ce sont les notations standard, alors, on a bien : $\displaystyle |||T||| = \sup_{|f|\le1} \frac{||T_f||}{|f|}$


Non içi on parle de la norme des opérateurs de Hilbert-Schmidt: Un opérateur de Hilbert-Schmidt est une application linéaire continue d'un Hilbert dans lui même vérifiant
<center>$\sum_{i\in I} ||Te_i||^2< \infty$</center>

où les $e_i$ sont une base de $\mathcal{H}$, espace de Hilbert.

La norme sur l'espace $\mathcal{L}_2(\mathcal{H})$ des opérateurs de Hilbert-Schmidt (sev de $\mathcal{L}(\mathcal{H})$, espace des endomorphismes continus de $\mathcal{H}$) est alors définie par:

<center>$||T||_{HS}=\sqrt{\sum_{i\in I} ||Te_i||^2}$</center>

C'est cette norme que moumni a noté $|||T|||$

Cette norme fait de $\mathcal{L}_2(\mathcal{H})$ un espace de Hilbert, et ne dépend pas du choix de la base bien sûr!

moumni a écrit:je veux si vous permettez une indication sur la démonstration de la cette proposition et notamment l'egalité

<center>$|||T|||^{2}=\int_{X}\int_{X}|K(x,y)|^{2}d\mu (x)d\mu (y)$</center>


Déja pour prouver que T est un Hilbert-Schmidt, il faut prouver que $Tf$ est de carré intégrable donc Fubini, puis Cauchy Schwartz: il vient
<center>$||Tf||_2 \leq ||K||_2||f||_2$</center>

Ce qui donne que T est un opérateur linéaire continu de $L^2(X,\mu)$

Puis on introduit $(\phi_i)i\in I$ base hilbertienne de $L^2(X,\mu)$ et les fonctions:
<center>$f_{i,j}:(x;y) \to \phi_i(x) \Bar{\phi}_j(y)$</center>
Elles forment une base hilbertienne de $L^2(X \times X,\mu \otimes \mu)$

Il vient

<center>$\sum_{i \in I} ||T\phi_i||^2=\sum_{i,j \in I} |(t\phi_i;\phi_j)|^2$</center>
soit <center>$|||T|||=\sum_{i,j \in I} |(K;f_{ij})|^2=||K||_2$</center>

Cela prouve que $T$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt, et même que $K \to T_K$ est une isométrie...

Voila, les détails restent à rédiger c'est plus une ébauche qu'une preuve...
Dernière édition par maskou le Samedi 29 Octobre 2005, 14:21, édité 1 fois.
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Messagepar MB » Mercredi 26 Octobre 2005, 23:10

En pleine forme maskou !
Pour information, le sujet a également été abordé ici.
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Messagepar P.Fradin » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:04

maskou a écrit:
Ash'Ka a écrit:Si ce sont les notations standard, alors, on a bien : $\displaystyle |||T||| = \sup_{|f|\le1} \frac{||T_f||}{|f|}$


Non içi on parle de la norme des opérateurs de Hilbert-Schmidt: Un opérateur de Hilbert-Schmidt est une application linéaire continue d'un Hilbert dans lui même vérifiant
<center>$\sum_{i\in I} ||Te_i||^2< \infty$</center>

où les $e_i$ sont une base de $\mathcal{H}$, espace de Hilbert.

La norme sur l'espace $\mathcal{L}_2(\mathcal{H})$ des opérateurs de Hilbert-Schmidt (sev de $\mathcal{L}(\mathcal{H})$, espace des endomorphismes continus de $\mathcal{H}$) est alors définie par:

<center>$||T||_{HS}=\sqrt{\sum_{i\in I} ||Te_i||^2}$</center>



On doit quand même avoir la relation: $|||T||| \leq \|T\|_{HS}$ non? Par contre, il n'y a pas d'inégalité dans l'autre sens sinon les normes seraient équivalentes ce qui doit être faux je suppose.
P.Fradin
 

Messagepar moumni » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:14

Mercui bien pour vous tous pour vos réponses.
pou toi Fradin, maskou a juste changer ma notation de la norme d'un opérateur de Hilbert Scmidt, en effet je l'ai noté $|||T|||$ alors qu'il l'a noté $||T||_{\cal{HS}}$
ou bien je me trompe.
Merci encore une autre fois
moumni
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Messagepar P.Fradin » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:18

moumni a écrit:Mercui bien pour vous tous pour vos réponses.
pou toi Fradin, maskou a juste changer ma notation de la norme d'un opérateur de Hilbert Scmidt, en effet je l'ai noté $|||T|||$ alors qu'il l'a noté $||T||_{\cal{HS}}$
ou bien je me trompe.
Merci encore une autre fois


Je désigne par $|||T|||$ la norme usuelle des applications linéaires, j'ai dit qu'il me semble que: $|||T||| \leq \|T\|_{\cal{HS}}$.
P.Fradin
 

Messagepar moumni » Jeudi 27 Octobre 2005, 09:44

Si j'ai bien compris; cette norme usuelle $|||T|||$ dont tu parle est elle meme la norme introduite par un intervenant dans cette discussion $||T||_{\cal{HS}}$.
ou bien non???
moumni
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Messagepar P.Fradin » Jeudi 27 Octobre 2005, 11:09

Ash'Ka a écrit:Si ce sont les notations standard, alors, on a bien : $\displaystyle |||T||| = \sup_{\|f\|\leq 1} \frac{||T(f)||}{\|f\|}$


Ceci est la norme usuelle des applications linéaires continues.
P.Fradin
 

Messagepar maskou » Jeudi 27 Octobre 2005, 11:22

moumni a écrit:Si j'ai bien compris; cette norme usuelle $|||T|||$ dont tu parle est elle meme la norme introduite par un intervenant dans cette discussion $||T||_{\cal{HS}}$.
ou bien non???

Non la norme usuelle pour les applications linéaires est celle définie par Ash'Ka ou P.Fradin, à savoir
<center>$|||T|||=\sup_{||f||_2 \le 1} ||Tf||_2$</center>

Ash'Ka a écrit:Peut-on prendre $\displaystyle |f| = \sqrt{\int_X f^2(x)dx}$ ?


Oui, c'est ce que j'appelle $||.||_2$

P.Fradin a écrit:On doit quand même avoir la relation: $|||T||| \leq \|T\|_{HS}$ non? Par contre, il n'y a pas d'inégalité dans l'autre sens sinon les normes seraient équivalentes ce qui doit être faux je suppose.



Oui c'est exact

Enfin j'ai du créer des confusions: dans mon post j'ai introduit une notation $||.||_{HS}$ mais après j' ai repris la notation de moumni

maskou a écrit:soit
<center>$|||T|||=\sum_{i,j \in I} |(K;f_{ij})|^2=||K||_2$</center>


Içi j'aurai du noter $||T||_{HS}$ au lieu de $|||T|||$...
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