Notations de dérivées partielles

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Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Jeudi 13 Février 2014, 19:09

Bonjour.
Je reviens à la charge avec les notations sur un exercice d'application sur les complexes qui est simple en lui même mais pour lequel je ne comprends pas les notations.

La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$$t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+$ : $z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\ \;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.

Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, ...

Ca y est, première ligne, je suis largué. $f'(t)$ KESAKO ? $t$ est une fonction. $f'(t)=f'\circ t$ ?

Je ne comprends pas : $u'=(f\circ t)'=(f'\circ t)\cdot t'$ ?
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar balf » Jeudi 13 Février 2014, 20:34

Sans doute. je ne sais pas ce qu'est f exactement, mais c'est une fonction d'une seule variable. Il faut certainement comprendre f'(t) comme f'(t(z)). Les notations sont abusives, mais compactes et plus parlantes que si on écrivait correctement.

B.A.
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Jeudi 13 Février 2014, 21:25

Bonsoir.
On cherche les applications $f$ telles que $u_f$ soit harmonique.
Mais ça n'est pas ce qui me perturbe.

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
S'agissant de complexes, on va considérer que $x$ est la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire.

Comment arriver ensuite à : $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?
Y a t-il une jacobienne quelque part ?
Comment passe t-on des dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$ à la dérivées partielles de $z$ ?
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar balf » Vendredi 14 Février 2014, 12:02

Pour une fonction f de x et y, que l'on peut aussi considérer comme une fonction de z = x + iy et de $\mathsf{\bar z}$, par définition :
∂f/∂z = ½(∂f/∂x – i ∂f/∂y) et ∂f/∂$\mathsf{\bar z}$ = ½(∂f/∂x + i ∂f/∂y).

Si f est une fonction holomorphe de z (seul, donc), on a ∂f/∂z = fʹ(z) et ∂f/∂$\mathsf{\bar z}$ = 0.

B.A.
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Samedi 15 Février 2014, 15:26

La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$$t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+$ : $z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\ \;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.

Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$

Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?

Il vient : $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$

Pourquoi parle t-on de $\dfrac{\partial u}{\partial z}$ au lieu de $\dfrac{d u}{d z}$ ?
Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?


$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$

Pourquoi $\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$ et pas :

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$

$u'=(f\circ t)'=(f'\circ t)\cdot t'$


Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar Minibob59 » Samedi 15 Février 2014, 17:37

paspythagore a écrit:Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$


Je ne peux pas trop te répondre pour les autres questions parce que je n'ai pas encore fait d'analyse complexe, mais je pense que la première formule ci-dessus est un produit de fonctions (produit des dérivées de $t$ par rapport à $z$ et $\overline{z}$) alors que la seconde est une dérivée seconde (celle de $t$ par $\overline{z}$ puis $z$).
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar balf » Samedi 15 Février 2014, 22:18

paspythagore a écrit:Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?

Parce que f'(t) est la dérivée (complexe) de f au point t(z) et que f n'est pas t.

Pourquoi parle t-on de $\dfrac{\partial u}{\partial z}$ au lieu de $\dfrac{d u}{d z}$ ?

Parce que t est une fonction de z et $\bar{\mathsf z}$ et donc u = f ∘ t aussi.

Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?

Votre phrase n'est pas terminée… Pour que quoi ?

Pourquoi $\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$ et pas :

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$


Parce que quand on dérive f't) par rapport à $\bar{\mathsf z}$, on a affaire à une fonction composée : ∂(f'(t))/∂$\bar{\mathsf z}$= f''(t) × ∂t/∂$\bar{\mathsf z}$.

Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$

Le premier est le produit de 2 dérivées partielles premières et le second une dérivée partielle seconde…
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Samedi 15 Février 2014, 22:24

Merci, je vais reprendre avec vos indications.

Ma phrase était terminée...
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar balf » Dimanche 16 Février 2014, 00:00

Mais il manque (au moins) un verbe après pour que !

B.A.
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Dimanche 16 Février 2014, 21:13

Oui. Pardon.

Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Dimanche 16 Février 2014, 21:51

MercI;

Pour
Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?

il faut voir $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial (f\circ t)}{\partial x}=\dfrac{\partial (f'\circ t)}{\partial x}\dfrac{\partial t}{\partial x}$ ?
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar balf » Dimanche 16 Février 2014, 22:08

paspythagore a écrit:Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$

Toujours parce que ∂/∂z = ½(∂/∂x – ∂/∂y).

B.A.
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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar balf » Dimanche 16 Février 2014, 22:15

[…]
il faut voir $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial (f\circ t)}{\partial x}=\dfrac{\partial (f'\circ t)}{\partial x}\dfrac{\partial t}{\partial x}$ ?
Pas exactement :

$$\dfrac{\partial (f\circ t)}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(t)\,\dfrac{\partial t}{\partial x}.$$


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Re: Notations de dérivées partielles

Messagepar paspythagore » Dimanche 16 Février 2014, 22:42

balf a écrit:
paspythagore a écrit:Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$

Toujours parce que ∂/∂z = ½(∂/∂x – ∂/∂y).

B.A.

∂/∂z = ½(∂/∂x – i ∂/∂y)
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