Norme et suite de Cauchy

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Norme et suite de Cauchy

Messagepar paspythagore » Samedi 25 Janvier 2014, 23:23

Bonsoir.
Merci de m'aider à trouver le bon chemin pour cet exercice qui m'a dérouté.
On considére l'espace $\R^N$ muni de la distance euclidienne $||x||_e=\Big(\ds\sum_{j=1}^Nx^2_j\Big)^{1/2}$.

On pose $(x|y)=\ds\sum^N_{j=1}x_jy_j$. On rappelle que $(x|y)_e\leq\Vert x\Vert_e\Vert y\Vert_e$.

On considère une fonction $f$ de $\R^N$ dans $\R^N$ continue telle qu'il existe une constante strictement positive $C$ telle que :

$$\left(f(x)-f'(x)|x-x'\Right)_e\geq C\Vert x-x'\Vert^2_e$$



1) Soit $(x_n)_{n\in\N}$ est une suite dans $\R^N$ ; montrer que si la suite $(f(x_n))\{n\in\N}$ est de Cauchy, alors la suite $(x_n)_{n\in\N}$ est de Cauchy.

Déjà, traduire que $(f(x_n))\{n\in\N}$ est de Cauchy : pas gagné.
$\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,\left|f(x_p)-f(x_q)\right|<\varepsilon$

Le but est d'arriver à : $\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,\left|x_p-x_q\right|<\varepsilon$

Comment "insérer" le fait que $(f(x_n))\{n\in\N}$ soit de Cauchy dans :
$\left(f(x)-f'(x)|x-x'\Right)_e\geq C\Vert x-x'\Vert^2_e$

Dire que $\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,$ $ \Big(\vec{\varepsilon}\;|\;x-x'\Big)\geq C\Vert x-x'\Vert^2$ ?
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Re: norme et suite de Cauchy

Messagepar Minibob59 » Dimanche 26 Janvier 2014, 11:11

paspythagore a écrit:On considère une fonction $f$ de $\R^N$ dans $\R^N$ continue telle qu'il existe une constante strictement positive $C$ telle que :

$$\left(f(x)-f'(x)|x-x'\Right)_e\geq C\Vert x-x'\Vert^2_e$$


Je suppose déjà que tu as voulu dire $f(x')$ et non pas la dérivée de $f$ en $x$.

paspythagore a écrit:Déjà, traduire que $(f(x_n))\{n\in\N}$ est de Cauchy : pas gagné.
$\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,\left|f(x_p)-f(x_q)\right|<\varepsilon$

On est d'accord sur la traduction formelle de : $(f(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy.

paspythagore a écrit:Dire que $\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,$ $ \Big(\vec{\varepsilon}\;|\;x-x'\Big)\geq C\Vert x-x'\Vert^2$ ?

Attention, ceci n'a pas de sens ! $\varepsilon$ est un réel strictement positif, or tu le transformes en élément de $\mathbb{R}^N$.

Tu sais ce que tu dois démontrer (tu l'as écrit dans ton post), mais tu as oublié une inégalité qui t'es rappelée dans l'énoncé : Cauchy-Schwarz !

$$\exists C > 0, \; $\forall x, x' \in \mathbb{R}^N, \; C \Vert x - x' \Vert_e^2 \leq (f(x) - f(x') \vert x - x')_e \leq \ldots$$


Reste à prendre ce qui est intéressant dans cette inégalité, poser les bons $\varepsilon$ et/ou $\varepsilon'$, ...

Bon courage !
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Re: norme et suite de Cauchy

Messagepar balf » Dimanche 26 Janvier 2014, 11:18

Le même résultat est valable si l'on fait l'hypothèse plus faible :

$$\mathsf{(f(x) - f(x')\mid x-x') \geqslant C \lVert x-x'\rVert^{1+a},\quad\text{où]\enspace a > 0}.$$


B.A.
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar paspythagore » Mercredi 12 Février 2014, 21:57

Je reprends le calcul de Minibob.

$\exists C > 0, \; \forall x, x' \in \mathbb{R}^N, \; C \Vert x - x' \Vert_e^2 \leq (f(x) - f(x') \vert x - x')_e \leq \Vert f(x)-f(x')\Vert_e\Vert x-x'\Vert_e\leq \varepsilon\cdot \Vert x-x'\Vert_e$

Donc $\Vert x-x'\Vert_e\leq \dfrac{\varepsilon}{C}$

On prend $\varepsilon'\geq \dfrac{\varepsilon}{C}$
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar Minibob59 » Mercredi 12 Février 2014, 22:22

C'est l'idée, mais il faut rédiger ça avec les suites $(x_n)_n$ et $(f(x_n))_n$.
Pour conclure, on peut dire que pour tout $\varepsilon' > 0$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $\dfrac{\varepsilon}{C} \leqslant \varepsilon'$.
Dernière édition par Minibob59 le Lundi 17 Février 2014, 20:41, édité 1 fois.
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar paspythagore » Lundi 17 Février 2014, 20:22

$(f(x_n))_{n\in\N}$ est de Cauchy : $\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,\left|f(x_p)-f(x_q)\right|<\varepsilon$


$\exists C > 0, \; \forall x_p, x_q \in \mathbb{R}^N, \; C \Vert x_p - x_q \Vert_e^2 \leq (f(x_p) - f(x_q) \vert x_p - x_q)_e $

$\leq \Vert f(x_p)-f(x_q)\Vert_e\Vert x_p-x_q\Vert_e\leq \varepsilon\cdot \Vert x_p-x_q\Vert_e$


Donc $\Vert x_p-x_q\Vert_e\leq \dfrac{\varepsilon}{C}$

Donc pour tout $\varepsilon' > 0$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $\dfrac{\varepsilon}{C} \leqslant \varepsilon'$.
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar Minibob59 » Lundi 17 Février 2014, 20:40

Voilà ! Conclusion : pour tout $\varepsilon' > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $p,q \geqslant 0$, $N \leqslant p \leqslant q \implies \Vert x_p - x_q \Vert_e \leqslant \varepsilon'$, ce qui traduit bien le fait que $(x_n)_n$ est de Cauchy.
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar paspythagore » Mercredi 12 Mars 2014, 22:18

Bon, je reprends cet exercice.
Je commence à avancer mais j'ai encore quelques trous.

On considère l'espace $\R^N$ muni de la distance euclidienne $||x||_e=\Big(\ds\sum_{j=1}^Nx^2_j\Big)^{1/2}$.

On pose $(x|y)=\ds\sum^N_{j=1}x_jy_j$. On rappelle que $(x|y)_e\leq\Vert x\Vert_e\Vert y\Vert_e$.

On considère une fonction $f$ de $\R^N$ dans $\R^N$ continue telle qu'il existe une constante strictement positive $C$ telle que :

$$\left(f(x)-f'(x)|x-x'\right)_e\geqslant C\Vert x-x'\Vert^2_e$$


(Question 1) Soit $(x_n)_{n\in\N}$ est une suite dans $\R^N$ ; montrer que si la suite $(f(x_n))_{n\in\N}$ est de Cauchy, alors la suite $(x_n)_{n\in\N}$ est de Cauchy.

$(f(x_n))_{n\in\N}$ est de Cauchy : $\forall\varepsilon>0, \exists N, N\leq p\leq q,\left|f(x_p)-f(x_q)\right|<\varepsilon$

$\exists C > 0, \; \forall x_p, x_q \in \mathbb{R}^N, \; C \Vert x_p - x_q \Vert_e^2 \leq (f(x_p) - f(x_q) \vert x_p - x_q)_e $

$\leq \Vert f(x_p)-f(x_q)\Vert_e\Vert x_p-x_q\Vert_e\leq \varepsilon\cdot \Vert x_p-x_q\Vert_e$

Donc $\Vert x_p-x_q\Vert_e\leq \dfrac{\varepsilon}{C}$

Donc pour tout $\varepsilon' > 0$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $\dfrac{\varepsilon}{C} \leqslant \varepsilon'$.

Conclusion : pour tout $\varepsilon' > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $p,q \geqslant 0$, $N \leqslant p \leqslant q \implies \Vert x_p - x_q \Vert_e \leqslant \varepsilon'$, ce qui traduit bien le fait que $(x_n)_n$ est de Cauchy.
(Question 2) Montrer que $f(\R^N)$ est fermé de $\R^N$.

Si on prend une suite de Cauchy $(f(x_n))$ alors $(x_n)$ est de Cauchy dans $\R^N$ qui est complet donc $(x_n)$ converge vers $x\in\R^N$.

Comme $f$ est continue $(f(x_n))$ converge vers $f(x)\in f(\R^N)$ qui est donc fermé.
Question 3) On suppose que la fonction $f$ est dérivable en un point $a$ de $\R^N$.
Montrer que :

$$\forall\vv{h}\in\R^N,(Df'(a)\cdot\vv{h}|\vv{h})_e\geqslant C\Vert \vv{h}\Vert^2_e.$$


Il doit y avoir un lien entre $f(a+\vv{h})-f(a)$ et $Df(a)(\vv{h})$ et on a avec la propriété de $f$ :

$x=a+\vv{h}$ et $x'=a$ :

$$\Big( f(a+\vv{h})-f(a)\cdot \vv{h}\Big)_e\geqslant C\cdot\Vert \vv{h}\Vert^2_e>0$$


(Question 4) En déduire que $Df(a)$ est inversible.

On vient de démontrer que $(Df(a)(\vv{h})\cdot\vv{h})$ ne s'annule pas pour tout $\vv{h}$ donc toutes les valeurs propres de $Df(a)$ sont non nulles. (inégalité avec $\vv{h}$ vecteur propre) et $Df(a)$ est inversible.
(Question 5) On suppose désormais que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^N$. Montrer que pour tout point $a\in\R^N$, il existe deux ouverts de $\R^N$, $\Omega$ et $\tilde{\Omega}$ contenant respectivement $a$ et $f(a)$ tel que $f$ soit un difféomorphisme de $\Omega$ dans $\tilde{\Omega}$?

Il s'agit du théorème d'inversion locale dont toutes les hypothèses ont été vérifiées :

On suppose que $f$ est $C^1$, de plus $E=\R^N$ est un espace de Banach et $F=f(\R^N)$ est fermé d'après la question 2 donc $F$ est un espace de Banach.

Pour tout $a\in\R^N$, $Df(a)$ est inversible et $Df(a)$ est un isomorphisme (la question de la continuité de $Df(a)$ et de $Df^{-1}(f(a))$ ne se pose pas, nous sommes en dimension fini) entre $E$ et $F$.

D'après le théorème, il existe 2 ouverts $\Omega$ et $\Omega'$ contenant respectivement $a$ et $f(a)$ tels que $f$ soit un difféomorphisme de $\Omega$ dans $\Omega'$.
(Question 6) Démontrer que $f$ est un difféomorphisme de $\R^N$ sur $\R^N$.

Alors là...
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar Minibob59 » Mercredi 12 Mars 2014, 22:41

Question 2 : on prend $(y_n)_n$ une suite de $f(\mathbb{R}^N)$ qui converge vers $y \in \mathbb{R}^N$. On peut donc l'écrire sous la forme $y_n = f(x_n)$. Comme elle converge, elle est de Cauchy, donc $(x_n)_n$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}^N$ complet, donc convergente vers $x \in \mathbb{R}^N$. Par continuité de $f$, $f(x_n) \to f(x)$. On conclut par unicité de la limite.

Question 3 : je n'ai pas encore réussi à conclure, mais il semble évident qu'il faille utiliser : $f(a+h) = f(a) + \mathrm{d}f_a(h) + \Vert h \Vert \varepsilon(h)$ et l'inégalité propriété de $f$...

Question 4 : plus simplement : si $h$ vérifie $\mathrm{d}f_a(h) = 0$, alors le produit scalaire est nul et par l'inégalité qui va bien, $\Vert h \Vert = 0$ d'où $h = 0$. On a alors $\mathrm{d}f_a$ injective donc bijective.

Question 5 : OK.

Question 6 : c'est le théorème d'inversion globale cette fois. On peut montrer l'injectivité de $f$ grâce à l'inégalité, et on sait qu'en tout point $a$ de $\mathbb{R}^N$, la différentielle de $f$ est un isomorphisme. On a donc que $f(\mathbb{R}^N)$ est un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et que $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^N$ vers $f(\mathbb{R}^N)$. On conclut par un argument de connexité...
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar paspythagore » Mardi 18 Mars 2014, 20:49

Merci.
Pour la question 3 qui me paraissait la plus facile, je rame.
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar paspythagore » Mercredi 26 Mars 2014, 10:07

Bonjour.
Est ce que quelqu'un peut m'aider pour que j'achève cette question 3 ?
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Re: Norme et suite de Cauchy

Messagepar balf » Mercredi 26 Mars 2014, 19:16

Je propose cette stratégie : on se fixe un vecteur h₀ non nul et l'on pose h = λ h₀. Il suffit de montrer que, quel que soit ε > 0,
|(Df(a) · h₀, h₀)|/||h₀||² $\geqslant$ C – ε.

On en déduit par passage à la limite que |(Df(a) · h₀, h₀)|/||h₀||² $\geqslant$ C.
Pour cela on part de la formule d'approximation fournie par la différentielle :
f(a + h) – f(a) = Df(a) · h + o(||h||)


Une fois l'inégalité établie pour h₀, on la déduit pour tout h en écrivant h = λ h₀, où h₀ est un vecteur de norme fixée, 1 par exemple.
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