Norme au carré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Janvier 2007, 11:05

La forme quadratique associée est par exemple de la forme : $q(x_1,x_2)=x_1^2$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Messagepar lat_ex » Mercredi 17 Janvier 2007, 11:48

Je ne connais pas, je n'ai pas vu ces choses-là.
Est-ce que ce que j'ai fait est correct quand même? Merci
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Messagepar bibi6 » Mercredi 17 Janvier 2007, 21:51

Bonsoir,

Pour moi, l'équivalence de normes c'est OK.
Concernant les produits scalaires:
*on connaît ceux définis sur $\R$ (définis positifs, bilinéaires, symétriques et non-dégénérés);
*il y a ceux définis à valeurs dans $\C$. On ne demande pas la symétrie pure, mais une symétrie qui fait intervenir la conjugaison: on a

$$\forall x, \forall y  (x|y) = \overline{(y|x)}$$

(où la barre désigne le conjugué).
Et alors là, bonjour les conventions pour faire sortir les constantes complexes!
1e convention:
$ (\lambda x|\mu y) = \lambda \overline{(\mu y|x)} = \lambda \overline{\mu}\overline{(y|x)} =  \lambda \overline{\mu}(x|y)$

2e convention:
les constantes (complexes) peuvent sortir... telles quelles à droite
(donc $ (\lambda x|\mu y) =  \overline{\lambda} \mu(x|y)$.

Et bizarrement on garde le "défini positif" (on demande alors que $(x|x)$ soit un réel positif pour tout $x$).

*Et il y a ceux qui ne sont pas définis positifs (et je prends en exemple celui qui est cher aux physiciens: on fixe la métrique

$$g := \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\
 \end{pmatrix}$$


et on définit un produit scalaire sur les quadrivecteurs -- je pense que c'est en fait un "pseudo-produit scalaire" -> voir la définition exacte...)
Je détaille un peu plus l'exemple:
soit $\bar{x} = (x_0; \vec{x})$ un quadrivecteur; soit $\bar{y}= (y_0; \vec{y})$ un autre quadrivecteur. On définit alors$ (\bar{x} | \bar{y}) := - x_0 y_0 + (\vec{x}, \vec{y})$.
Et là: dégénéré, non défini positif, mais quand même bilinéaire.
Il est peut-être bizarre celui-là, mais c'est celui à l'origine de la relaivité restreinte...


PS: @Admin's&modo's: appel à de plus fins connaisseurs :roll: Vous savez me mettre des grandes barres sur mes produits scalaires conjugués? Parce que mes petites barres \bar c'est pas terrible... Merci!

[Edit Arnaud : Utilise \overline dans ce cas ;)]
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Messagepar lat_ex » Jeudi 01 Février 2007, 10:33

Bonjour, j'ai un autre problème de norme :bangin:
Les hypothèses sont:
- $(X,\|\cdot\|)$ espace de Banach séparable;
-$(x_n)_n  \subset S_X$ (la sphère unité) une suite dense dans $S_X$;
- $(f_n)_n \subset S_{X^*}$ une famille séparante sur $X$ (c'est-à-dire $\forall x \in X$ si $\forall n \in \mathbb{N},  f_n(x)=0  \Rightarrow  x=0$.
- $\forall n \in \mathbb{N}$ on pose $ F_n$:= $<x_1, ... , x_n> $ (l'espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ engendré pas $x_1,... , x_n$).
Et on doit montrer que la norme $|||\cdot |||$ est équivalente à $\|\cdot\|$.
Soit $x \in X$.

$$|||x|||^2 = \|x\|^2 +  \sum 2^{-i}  (f_i(x))^2 + \sum 2^{-i} (dist(x,F_i))^2$$



(où la distance $dist$ est exprimée par rapport à la norme $\|\cdot\|$ et la somme porte sur $i$ et $i$ va de 1 à $+\infty$).

J'ai fais comme pour la preuve précédente en montrant que $\|x\|^2 +  \sum 2^{-i}  (f_i(x))^2 $ est une norme mais maintenant c'est la troisième terme qui m'embète. Une distance n'est pas une norme, donc je ne vois pas comment faire. Avez-vous une idée?? Merci
lat_ex
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