Multiplicateur de Lagrange et distance

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Multiplicateur de Lagrange et distance

Messagepar paspythagore » Vendredi 02 Décembre 2011, 16:50

Bonjour.
Je ne comprends pas comment on trouve la distance du point $M$ au plan $\Mathscal{P}$.
Théorème du multiplicateur de Lagrange

Soit $U$ un ouvert non vide de $\Rn, f : U \to\R$ et $g : U \to\R$ deux fonctions
$C^1$: On pose : $M = \{x \in U ; g(x) = 0\}$
Soit $a \in M$ tel que $dg_a \neq 0$
Si $f_{|M}$ présente en a un extremum local, alors il existe un réel $\lambda$ appelé
multiplicateur de Lagrange, tel que $df_a = \lambda dg_a$

Que veut dire $f_{|M}$ ?
Soient $a, b,c,h$ des réels strictement positifs. On note $d((.,.)$ la distance euclidienne sur $\R^3$, on note $\Mathscal{P}$ le plan d'équation $x+y+z-h=0$ et on note $\Mathscal{E}$ l'ellipsoïde d'équation : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}-1=0$

Montrer que la distance $d(u,v,w)$ du point $M=(u,v,w)\inR^3$ au plan $\Mathscal{P}$ est égale à $\dfrac{|h-(u+v+w)|}{\sqrt{3}}$

$d(u,v,w)^2$ est le minimum de la fonction $f:(x,y,z)\rightarrow (x-u)^2+(y-v)^2+(z-w)^2$ sur $\Mathscal{P}$, c'est à dire la condition $\phi(x,y,z):=x+y+z-h=0$.
La fonction $\phi$ n'a pas de point critique : ce minimum est donc atteint en un point $(x,y,z)$ pour lequel existe un multiplicateur de Lagrange $\lambda$ tel que :
$ \left \{ \begin{array}  2(x-u)=\lambda\cdot 1\\    2(y-v)=\lambda\cdot 1\\   2(z-w)=\lambda\cdot 1\\ x+y+z-h=0\end{array} \right.$

Pourquoi cette notation $d(u,v,w)^2$ ?
Que représente $f:(x,y,z)$ ?
$\sqrt{f}$ c'est la distance euclidienne de $M$ à $N$ (un point du plan) ?
$\dfrac{\partial{f}}{\partial x}=2(x-u)$ et le $1$ du $\lambda .1$ c'est la dérivée partielle de $x$ par rapport à $x$ (c'est à dire que le membre de droite c'est $\lamda$ fois les dérivées partielles du point $M(x,y,z)$ ?
paspythagore
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Re: multiplicateur de Lagrange et distance

Messagepar balf » Samedi 03 Décembre 2011, 13:42

1) f|M désigne la restriction de f à M.
2) On considère d(u,v,w)² plutôt que d(u,v,w) parce que c'est plus simple à dériver et que les minima de chacun sont atteints aux mêmes points.
3) $\sqrt{f}$ est bien la distance de M et N.
4) Le 1 est la dérivée par rapport à x (ou y, ou z) de x+y+z — h.

B.A.
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Re: multiplicateur de Lagrange et distance

Messagepar paspythagore » Samedi 03 Décembre 2011, 16:00

Merci.
f|M désigne la restriction de f à M.
La valeur que prend f en M ?
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Re: multiplicateur de Lagrange et distance

Messagepar balf » Samedi 03 Décembre 2011, 21:16

Dans cette partie, M ne désigne pas un point, mais la sous-variété définie par l'équation g(x) = 0. Il s'agit donc vraiment de la restriction de f à un sous-ensemble.

B.A.
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Re: multiplicateur de Lagrange et distance

Messagepar paspythagore » Samedi 03 Décembre 2011, 21:51

Encore une fois, merci balf.
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