Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

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Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

Messagepar funb » Jeudi 05 Février 2009, 17:04

Bonjour,

je cherche à calculer la moyenne de la fonction suivante : f(r, $\theta$ )=k*r/R.
$\theta$ est compris entre 0 et 2$\pi$
r est compris entre 0 et R.

J'intègre donc cette fonction entre 0 et 2$\pi$ et entre r0 et R. (il s'agit donc d'une couronne).
L'intégrale est donc : $\int_{r0}^{R}f.r.dr.d\theta$

La valeur moyenne est alors m=$\frac{1}{\pi*(R^2-r^2)}$*$\int_{r0}^{R}f.r.dr.d\theta$
Je m'interesse ensuite à l'évolution de cette moyenne en fonction de R.
Jusque là pas de problème.
Le problème vient du fait que je cherche une formulation pour une fonction exprimant r0 en fonction de f, de k, de R ou de la dérivée de f ou tout cela combiné qui permette d'obtenir une valeur moyenne m (fonction de R) ayant les propriétés suivantes :

1.: m est décroissante
2.: m est concave
3.: la limite de m quand R tend vers l'infini est finie

J'ai essayé plusieurs formulations pour r0. Par exemple r=H*k*R.
Mais je n'ai jamais obtenu le comportement voulu. J'ai essaye d'introduire des fonctions exponentiels, logarithimique pour voir si je pouvais obtenir le comportement décrit et je n'arrive à rien.

1 ere question : avez vous une idée du type de formulation que je pourrais utiliser pour r0 ?
2e question :
j'en suis quasiement arriver à l'idée qu'il n'existe pas de telle fonction...
Donc j'aimerias montrer que la moyenne de f ne peut pas avoir le compotement souhaitée en fonction de R quelquesoit la fonction r0 utilisée.
Notamment le point le plus important serait de montrer que la moyenne de f ne peut pas tendre vers une valeur finie quand R tend vers l'infini.
Comment puis-je faire une telle demonstration ?

J'attend vos réponses en esperant que le probleme est posé correctement.
funb
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Re: Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

Messagepar funb » Lundi 09 Février 2009, 10:18

personne n'a de piste de reflxion ?
ou peut être que le porblème est mal posé ?
funb
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Re: Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

Messagepar MC » Lundi 09 Février 2009, 16:04

Bonjour,

Désolé, mais ta question est à peu près incompréhensible. Par ailleurs, connais-tu beaucoup de fonctions décroissantes concaves à limite finie quand la variable tend vers plus l'infini? Pour ma part, je ne vois qu'une fonction constante capable de faire ça.

Cordialement.
MC
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Re: Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

Messagepar funb » Mardi 10 Février 2009, 09:47

Il y a en effet une erreur dans ma question. Je recherche une fonction convexe !
J'espère que ca vous donnera plus d'idée.
Et si il y a des poins mal enoncés, il suffit de poser la (ou les) question(s) et je préciserai...
Bonne journée !
funb
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Re: Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

Messagepar funb » Mardi 10 Février 2009, 10:04

Je vais essayer de clarifier mon problème :
J'ai une intégrale :
$I(R)=\int_{r0}^{R}k.r^2/R.dr$. k est une constante.
Et je cherche à exprimer r0 en fonction de R afin que l'intégrale I ait les propriétés suivantes :
la limite de I quand R tend vers l'infini est finie (et positive, mais c'est un détail)
et I est convexe (il y avait une erreur dans mon premier message, I doit etre convexe).

J'espère que ca inspirera plus de monde !
funb
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Re: Moyenne d'une fonction (recherche de fonction)

Messagepar MC » Mardi 10 Février 2009, 17:41

Ca va mieux comme ça.
Ton intégrale n'est pas très dure à calculer explicitement. Après tu peux voir déjà la tête que doit avoir $r_0(R)$ pour que l'intégrale ait une limite finie $>0$. Tu peux déjà montrer que $r_0 \sim R$ est nécessaire, et ensuite poser $r_0 = R (1-h)$ avec $h$ tendant vers 0 pour plus de précision.

Cordialement.
MC
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