Minimum lié

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

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Messagepar paspythagore » Mercredi 22 Janvier 2014, 21:55

Bonjour.
En attendant de trouver l'inspiration pour l'exercice sur les hypersurfaces et de comprendre mon histoire de suite pour les fermés, j'ai essayé de faire l"exercice suivant :
1) Démontrer que la fonction $x^4+y^4$ admet un minimum strictement positif sue l'ensemble des $(x,y)$ de $\R^2$ tels que $x^2+y^2=1$. On désignera par $m_0$ ce minimum

$x^2+y^2=1\Rightarrow x^4+y^4>0$.
D'autre part $x^2+y^2=1$ est un compact (fermé, borné), donc toute application continue est borné et atteint ses bornes sur ce compact.
Donc il existe la fonction $x^4+y^4$ atteint son minimum $m_0$ qui est strictement positif sur l'ensemble compact $x^2+y^2=1$.
Soit $(x_0,y_0)$ un point tel que $x_0^2+y_0^2=1$ et $x_0^4+y_0^4=m_0$. Démontrer que pour tout réel $\lambda$, le point $\lambda(x_0,y_0)$ est un minimum de la fonction :

$$(x,y)\mapsto x^4+y^4-m_0(x^2+y^2)^2.$$


Pour la partie calculatoire, cela doit donner sauf erreur de ma part :
$\lambda(x_0,y_0)\mapsto x_0^4+y_0^4-m_0\Big((\lambda x_0^)^2+(\lambda y_0^)^2\Big)^2$
$=m_0-m_0\Big(\lambda^2(x_0^2+y_0^2)\Big)^2$
$=m_0-\lambda^4m_0=m_0(1-\lambda^4)$
Donc mon souci, c'est qu'il n'y a pas un $\lambda$ particulier, il faut $\lambda$ tende vers $+\infty^$ mais c'est un réel pas une suite.
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Re: minimum lié

Messagepar balf » Mercredi 22 Janvier 2014, 22:25

La fin de votre calcul est erronée : m₀ est le minimum de x⁴ + y⁴, pas de (x² + y²)².

B.A.
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Re: minimum lié

Messagepar paspythagore » Mercredi 22 Janvier 2014, 22:37

Je me suis trompé à quel endroit plus précisément ?
$m_0-m_0\Big(\lambda^2(x_0^2+y_0^2)\Big)^2$, $x_0^2+y_0^2=1$ donc on obtient :
$m_0-\lambda^4m_0=m_0(1-\lambda^4)$
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Re: minimum lié

Messagepar balf » Jeudi 23 Janvier 2014, 03:07

C'est que (x₀² + y₀²)² n'est pas égal à m₀², parce qu'il est différent de x₀⁴ + y₀⁴.

B.A.
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Re: minimum lié

Messagepar paspythagore » Jeudi 23 Janvier 2014, 22:48

Je reprends avec le $\lambda$ que j'ai oublié.

$\lambda(x_0,y_0)\mapsto \lambda^4(x_0^4+y_0^4)-m_0\Big((\lambda x_0)^2+(\lambda y_0)^2\Big)^2$

$=\lambda^4m_0-m_0\Big(\lambda^2\overbrace{(x_0^2+y_0^2)}^{=1}\Big)^2$
$=\lambda^4m_0-\lambda^4m_0=0$

Du coup, comme :$(x,y)\mapsto x^4+y^4-m_0(x^2+y^2)^2\leq0$

si $m_0\geq1$ car $(x^2+y^2)^2=x^4+y^4+2x^2y^2\geq x^4+y^4$
mais je ne sais pas ce qui se passe pour $m_0\in [0;1]$...

Ca sent encore l'erreur de calcul.
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Re: minimum lié

Messagepar balf » Vendredi 24 Janvier 2014, 00:47

Il n'y a pas d'erreur de calcul : vous savez maintenant qu'aux points considérés cette fonction vaut 0. Il reste à montrer qu'en tout point, elle est supérieure ou égale à 0. Il suffit de remarquer que, à l'exception de l'origine, tout point (x, y) est de la forme λ(X,Y), où (X,Y) est un point du cercle de rayon 1, et de se servir de la question 1.

B.A.
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Re: minimum lié

Messagepar paspythagore » Vendredi 24 Janvier 2014, 21:45

Bonsoir.

$\forall(x,y)\R^2, (x,y)=\lambda(cos\;\alpha,sin\;\alpha)=\lambda(X,Y)$

On pose $f(x,y)=x^4+y^4-m_0(x^2+y^2)^2$

$f(x,y)=f(\lambda(X,Y))=\lambda^4(X^4+Y^4)-m_0(\lambda X^2+\lambda Y^2)^2$

$f(\lambda(X,Y))=\lambda^4(X^4+Y^4-m_0)$

Or d'aprés 1), $m_0$ est le minimum de la fonction $x^4+y^4$ sur le cercle unité.

Donc $X^4+Y^4\geq m_0$

Et $X^4+Y^4-m_0\geq0$

Donc $f(x,y)\geq0$ et comme $f(\lambda(x_0,y_0))=0$ : $\lambda(x_0,y_0)$ est bien un minimum de $f$.
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Re: minimum lié

Messagepar balf » Vendredi 24 Janvier 2014, 22:01

C'est bien ça, mais précisez tout de même au début qu'il existe λ et α réels tels que … On ne sait pas d'où ils sortent sans cette précision.
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