méthode des résidus

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
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méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Mardi 04 Décembre 2012, 22:35

Bonjour;

je pensais avoir compris cette méthode mais je n'arrive pas à faire cet exercice.
Merci de m'indiquer ce qui est faux.
Calculer par la méthode des résidus $I=\ds\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x^3\sin(tx)}{(x^2+1)^2}dx$ lorsque $t>0$

Est il possible de calculer cette intégrale directement ou est ce la suite des questions qui permettra de le faire ?
Soit $r>1$ et $\gamma_r$ le chemin qui est la juxtaposition de $[-r,r]$ et de $\alpha_r:[0,\pi]\ni\theta\mapsto re^{i\theta}$.
Que vaut $\ds\int_{\gamma_r}\dfrac{z^3e^{itz}}{(z^2+1)^2}dz$ ? Justifier.

J'ai pensé pouvoir dire que comme $\dfrac{z^3e^{itz}}{(z^2+1)^2}$ est holomorphe (car composition de fonctions holomorphes) sur un fermé, son intégrale est égale à $0$.
Mais le demi-disque n'est pas simplement connexe. Il contient un pôle.
Un autre résultat du cours me propose de calculer le résidu de cette manière :
$Res (f,i)=\ds\lim_{z\to i}\dfrac{\partial}{\partial z}[(z-i)^2 f(z)]$
Sauf erreur de calcul, je trouve $\dfrac{2e^{-t}-te^{-t}}{4}$
Montrer que $\ds\lim_{r\to+\infty}\ds\int_{\gamma_r}\dfrac{z^3e^{itz}}{(z^2+1)^2}dz=0$

J'ai appliqué le théorème de Jordan et calculer $\ds\lim_{r\to+\infty}\left|\dfrac{z^4e^{itz}}{(z^2+1)^2}\right|$
Je suis embêté avec le $e^{itz}$, j'hésite à écrire que $\dfrac{z^4}{(z^2+1)^2}\to0$ et que $e^{itz}$ est bornée ($\in[0;1}$) car $\left| e^{itz}\right|=\left|e^{rit\cos\theta}e^{-rt\sin\theta}\right|=e^{-rt\sin\theta}\to0$ car ce $\sin\theta$ me change le signe de l'exposant lorsqu'il est négatif. Comment puis je faire ?
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Re: méthode des résidus

Messagepar Cruptos » Mercredi 05 Décembre 2012, 05:43

Bonjour,

le résidu me semble correct.
En ce qui concerne l'intégrale sur $\alpha_r$ (c'est celle-là dont on doit
montrer que la limite est nulle lorsque $r$ tend vers l'infini
et non pas l'intégrale sur $\gamma_r$)
elle se fait sur le demi cercle supérieur, donc le $\theta$ est entre $0$ et $\pi$
si bien que $\sin(\theta)$ est $\geq 0$.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Mercredi 05 Décembre 2012, 11:04

Est il possible de calculer cette intégrale directement ou est ce la suite des questions qui permettra de le faire ?

En tout cas, il semble que la fonction sous le signe $\int$ n'ait pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions élémentaires.

Je confirme que le résidu est correct.
La fonction $\mathsf{\dfrac{z^3 e^{itz}}{(z^2+1)^2}}$ n'est pas holomorphe, mais méromorphe sur C.

Il est faux que $\mathsf{\dfrac{z^4}{(z^2+1)^2}}$ tende vers 0 quand |z| tend vers + $\infty$. Mais il existe un énoncé analogue au lemme de Jordan (les théorèmes de Jordan sont autre chose) :
Si $\mathsf {\lim_{|z|\to +\infty}f(z) = 0}$, alors l'intégrale $\mathsf {\displaystyle \int_{\alpha_r}  f(z) e^{itz} dz$ tend vers 0.


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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Mercredi 05 Décembre 2012, 11:59

Bonjour.

Il est faux que $\mathsf{\dfrac{z^4}{(z^2+1)^2}}$ tende vers 0 quand |z| tend vers + $\infty$. Mais il existe un énoncé analogue au lemme de Jordan (les théorèmes de Jordan sont autre chose) :

Si $\mathsf {\lim_{|z|\to +\infty}f(z) = 0}$, alors l'intégrale $\mathsf {\displaystyle \int_{\alpha_r} f(z) e^{itz} dz$ tend vers 0.

J'ai recopier un peu vite, c'est $\left|\dfrac{z^4}{(z^2+1)^2}\right|\to0$ que je voulais écrire.
Pour le lemme de Jordan ou celui que vous proposez, je ne les trouve pas dans mon cours. Je suis allé le chercher sur un livre avec lequel je travaille.

La fonction $\mathsf{\dfrac{z^3 e^{itz}}{(z^2+1)^2}}$ n'est pas holomorphe, mais méromorphe sur C.

Qu'est ce qui vous permet de dire au premier coup d'œil que cette fonction n'est pas holomorphe. $\dfrac{f(z)-f(\pm i)}{z\pm i}$ n'a pas de limite quand $z$ tend vers $\pm i$ parce que l'on a pas le droit d'écrire $f(\pm i)$ ?
Je pensais qu'holomorphe sur $\C\setminus\{\pm i\}$ suffisait.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Mercredi 05 Décembre 2012, 14:15

paspythagore a écrit:J'ai recopier un peu vite, c'est $\left|\dfrac{z^4}{(z^2+1)^2}\right|\to0$ que je voulais écrire.

Ça revient au même. C'est faux parce que ce l'est déjà pour un réel : en ce cas la limite est égale à 1.
Pour le lemme de Jordan ou celui que vous proposez, je ne les trouve pas dans mon cours. Je suis allé le chercher sur un livre avec lequel je travaille.

Vous pouvez en trouver un énoncé dans un polycopié d'analyse complexe de Michèle Audin, par exemple, que vous trouverez ici : http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/polycopies.html
Ou vous consultez Wikipedia à l'article « lemme de Jordan ».
La fonction $\mathsf{\dfrac{z^3 e^{itz}}{(z^2+1)^2}}$ n'est pas holomorphe, mais méromorphe sur C.

Qu'est ce qui vous permet de dire au premier coup d'œil que cette fonction n'est pas holomorphe.

Elle n'est pas holomorphe parce qu'elle des pôles. On sait qu'elle est méromorphe parce qu'elle est le produit d'une fonction méromorphe (les fonctions rationnelles sont méromorphes) par la fonction holomorphe $\mathsf{e^{itz}}$.
Je pensais qu'holomorphe sur $\C\setminus\{\pm i\}$ suffisait.

Certes, mais vous aviez écrit holomorphe tout court, sans que le contexte parût exclure ces deux points. Je pouvais donc penser que vous parliez de fontion holomorphe sur C.

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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Mercredi 05 Décembre 2012, 15:49

Merci.

Ça revient au même. C'est faux parce que ce l'est déjà pour un réel : en ce cas la limite est égale à 1.
:oops:

Il n'est pas possible de faire simplement cela ?

$\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}}\right|=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{z^3}{z^4(1+2z^{-2}+z^{-1})}\right|=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\dfrac{1}{|z|}=0$


$\left| e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos\theta+i\sin\theta}\right|=e^{-t|z|\sin\theta}$

$t>0$ et $\sin\theta\geq0$.
Si $\theta\neq k\pi$, $k\in\N$, $\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left| e^{itz}\right|=0$
Si non, $\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left| e^{itz}\right|=1$

Donc $\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|e^{itz}\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}}\right|=0$

Et : $\ds\lim_{r\to+\infty}\ds\int_{\gamma_r}\dfrac{z^3e^{itz}}{(z^2+1)^2}dz=0$
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Mercredi 05 Décembre 2012, 19:09

C'est juste… sauf la conclusion : ce n'est pas parce qu'une suite de fonctions intégrables tend vers 0 que la suite des intégrales tend vers 0. Il y faut une convergence uniforme. C'est bien pour cela qu'on a la lemme de Jordan, sous l'un quelconque de ses avatars.
Ou alors, on utilise l'inégalité de la moyenne,et l'on majore l'intégrale de $\mathsf{e^{itz}}$ sur [0,π] de façon uniforme par rapport à r — ce qui revient peu ou prou à redémontrer le lemme de Jordan.

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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Mercredi 05 Décembre 2012, 21:28

Je comprends que j'ai un peu rapidement inversé l'intégrale et la limite.
Mais je n'ai ni Jordan, ni l'inégalité de la moyenne dans ce cours. Pourtant il y a bien un exercice non corrigé proposant cet exercice. Ce que j'ai, c'est la propriété de la moyenne.
Dans le cours de Michèle Audin, on a pour la démonstration :
Si $z=re^{i\theta}$ et $M(r)=\sup_\theta\left| f(re^{i\theta})\right|$, on a : $\left|\ds\int_{\gamma_r}f(z)e^{iz}dz\right|\leq M(r)\ds\int_0^\pi e^{-r\sin\theta}rdt$

Je ne suis pas sûr de pouvoir démontrer cela :
$\left|\ds\int_{\gamma_r}f(z)e^{iz}dz\right|\leq\ds\int_{\gamma_r}\left|f(z)e^{iz}\right|dz=\ds\int_0^\pi f(re^{i\theta})e^{-r\sin\theta}rdt$
$\ds\int_0^\pi f(re^{i\theta})e^{-r\sin\theta}rdt\leq\sup_\theta \left|f(re^{i\theta})\right|\ds\int_0^\pi e^{-r\sin\theta}rdt$

Est ce qu'il faut utiliser cela dans notre cas ?

En montrant que $\sup_\theta \left|f(re^{i\theta})\right|\ds\int_0^\pi e^{-r\sin\theta}rdt$ tend vers $0$

On aurait quand $r\to+\infty$, $\sup_\theta \left|f(re^{i\theta})\right|=0$

J'ai l'impression de m'égarer.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Mercredi 05 Décembre 2012, 22:57

paspythagore a écrit:Je comprends que j'ai un peu rapidement inversé l'intégrale et la limite.
Mais je n'ai ni Jordan, ni l'inégalité de la moyenne dans ce cours. Pourtant il y a bien un exercice non corrigé proposant cet exercice. Ce que j'ai, c'est la propriété de la moyenne.

L'inégalité de la moyenne doit être connue, mais peut-être pas sous ce nom. Elle dit que si f et g sont deux fonction (g à valeurs positives) et si m $\leqslant$ f(x) $\leqslant$ M sur [a, b], alors

$$\mathsf{m\int_a^b  g(t) dt \leqslant\int_a^b f(t) g(t) dt \leqslant M\int_a^b  g(t) dt.}$$


Je ne suis pas sûr de pouvoir démontrer cela :
$\left|\ds\int_{\gamma_r}f(z)e^{iz}dz\right|\leq\ds\int_{\gamma_r}\left|f(z)e^{iz}\right|dz=\ds\int_0^\pi f(re^{i\theta})e^{-r\sin\theta}rdt$
$\ds\int_0^\pi f(re^{i\theta})e^{-r\sin\theta}rdt\leq\sup_\theta \left|f(re^{i\theta})\right|\ds\int_0^\pi e^{-r\sin\theta}rdt$
Est ce qu'il faut utiliser cela dans notre cas ?

N'oubliez pas le signe du module à la fin de la première ligne. Deuxième ligne : l'inégalité de la moyenne permet de se contenter de
majorer f(z) par une fonction de r = |z| qui tend vers 0 à l'infini et de majorer l'intégrale indépendamment de r.

Majorer |z³/z²+1| requiert de minorer le dénominateur. On a besoin pour cela de l'inégalité triangulaire, deuxième forme :
|a + b| $\geqslant$||a| — |b||.
En montrant que $\sup_\theta \left|f(re^{i\theta})\right|\ds\int_0^\pi e^{-r\sin\theta}rdt$ tend vers $0$
On aurait quand $r\to+\infty$, $\sup_\theta \left|f(re^{i\theta})\right|=0$
J'ai l'impression de m'égarer.

Il faut en fait majorer maintenant l'intégrale par un nombre. On a besoin de l'inégalité de la corde : sin θ $\leqslant$ 2/ π × θ (valable sur [0,π/2]).

B.A.
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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Samedi 08 Décembre 2012, 16:10

Bonjour.

Je tourne en rond depuis des heures. Je m'excuse pour l'inégalité de la moyenne. effectivement, je connais... Je pensais qu'il y en avait une, spécifique, pour les nombres complexes.

Je ne suis toujours pas sur la bonne voie.

Pour $z\neq0$,

$\left|\ds\int_{\alpha_r}f(z)dz\right|=\left|\ds\int_{\alpha_r}zf(z)\dfrac{dz}{z}\right|\leq\ds\int^\pi_0\left|z f(z)\right|\dfrac{|z|d\theta}{|z|}=\ds\int_0^\pi\left|z f(z)\right|d\theta$

$\ds\int_0^\pi\left|z f(z)\right|d\theta\leq\pi\ds\max_{z\in\alpha_r}\left|z f(z)\right|$ avec $z=e^{i\theta}$

Pour $\theta\neq k\pi$, le dernier terme tend vers $0$ pour $|z|\to+\infty$...

Mais pour $\theta=k\pi$, je n'arrive pas à utiliser "l'inégalité triangulaire, deuxième forme :
|a + b| $\geqslant$||a| — |b||." ni l'inégalité de la corde.

Je ne sais plus où je doit reprendre.

Pour $\left|\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|$ on peut le minorer par $\dfrac{1}{|z|}$

Mais pourquoi est suffisant et pourquoi minorer $\left|\dfrac{z^3}{z^2+1}\right|$
Dernière édition par paspythagore le Dimanche 09 Décembre 2012, 15:29, édité 1 fois.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Samedi 08 Décembre 2012, 21:52

Il me semble que nous ne parlons pas exactement des mêmes choses. Pour moi, f(z) est la fonction rationnelle z —> z³/(z² + 1). Il faut, d'une part majorer |f(z)| par une fonction φ(r) (r=|z|) qui tende vers 0 à l'infini ; d'autre part, majorer l'intégrale $ \int_{\alpha_r} \mathsf{e^{ -\mathsf{r} \sin \theta} r\, d}$θ par un nombre A indépendant de r.

Pour majorer |f(z)|, on peut majorer le numérateur, ou minorer le dénominateur (ou les deux). C'est là l'intervient l'inégalité triangulaire 2e forme : pour minorer |z² + 1|.
Pour majorer l'intégrale, on utilise l'inégalité de la corde, après avoir remarqué que $\int_0^{\pi} = \mathsf{2\int_0^{\pi/2}}$.

Ces deux majorations obtenues, l'intégrale tendra vers 0, car majorée en module par A φ(r).
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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Décembre 2012, 18:02

Désolé balf, une fois de plus, je touche le fond.
Bien que vous m'ayez mâché le travail, je n'y arrive pas.
Montrer que $\ds\lim_{r\to+\infty}\ds\int_{\alpha_r}\dfrac{z^3e^{itz}}{(z^2+1)^2}dz=0$

Pour moi $f(z)= \dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}$ et pas $f(z)= \dfrac{z^3}{z^2+1}$, ce qui se majorerait facilement quand$|z|\to+\infty$ :
$\left| \dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|\leq\dfrac{1}{|z|}$

Partant de $|z^2+1|\geq\left| |z^2|-1\right|$, je ne sais pas où aller.

Pour $\ds\lim_{r\to+\infty}2\ds\int_0^{\pi/2}e^{-r\sin\theta }d\theta$, c'est pire. Je n'ai pas réussi à démontrer l'inégalité de la corde. Mais surtout,
si : $0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}$ implique $\sin\theta\leq\dfrac{2}{\pi}\theta$

Alors $e^{-\sin\theta}\geq e^{\frac{-2\theta}{\pi}$.

J'aurai préféré $\leq$...

J'ai sûrement écrit des énormités mais là, depuis 3 heures, je ne vois pas lesquelles.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Dimanche 09 Décembre 2012, 20:53

Je suis désolé, je n'avais pas fait attention que l'exposant du dénominateur avait sauté. Vous avez tout à fait raison.

paspythagore a écrit:$\left| \dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|\leq\dfrac{1}{|z|}$

Cette inégalité est fausse : elle suppose que |z²+1| $ \geqslant$ |z²|, ce qui n'est valable que si |Re(z)| $ \geqslant$ |Im(z)|. C'est bien pour cela qu'on a besoin de l'inégalité triangulaire 2e forme. Contre-exemple : : si z = i, z² + 1 = 0, alors que |z²| = 1.
Partant de $|z^2+1|\geq\left| |z^2|-1\right|$, je ne sais pas où aller.

f(z)|| est donc majoré par …
Je n'ai pas réussi à démontrer l'inégalité de la corde.

La fonction sinus est concave sur [0,π/2], donc son graphe sur cet intervalle (et aussi les cordes dudit graphe) est (sont) situé(es) au-dessus de la tangente à l'origine.
Mais surtout,
si : $0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}$ implique $\sin\theta\leq\dfrac{2}{\pi}\theta$
Alors $e^{-\sin\theta}\geq e^{\frac{-2\theta}{\pi}$.
J'aurai préféré $\leq$...

C'est bien $\leqslant$. Vous aviez mal noté l'inégalité de la corde. Et aussi l'intégrale — il manque deux r.

B.A.
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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Décembre 2012, 22:51

Une fois de plus merci de votre patience.

J'ai du mal à faire la majoration de $f(z)$

$|z^2+1|\geq\left| |z^2|-1\right|$

$\left| \dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|\leq\dfrac{|z^3|}{\left| |z^2|-1\right|\cdot\left| |z^2|+1\right|}\leq\dfrac{|z^3|}{\left| |z^4|-1\right|}$

J'ai peur d'avoir écrit la même bêtise que précédemment.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Dimanche 09 Décembre 2012, 23:16

C'est faux, à cause du facteur ||z|² + 1|, mais pourquoi se compliquer la vie ? On obtient (presque) directement |f(z)| $\leqslant$ |z|³/(|z|² -1)² si |z| > 1 (ne pas oublier que ||z|² — 1|² ou (|z|² — 1)², c'est la même chose). On majore donc|f(z)| par une fonction rationnelle de |z| qui tend vers 0 à l'infini.

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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Lundi 10 Décembre 2012, 19:20

Bonsoir.

Il me semblait que vous m'aviez dit plus haut que :
$\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}}\right|=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{z^3}{z^4(1+2z^{-2}+z^{-1})}\right|=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\dfrac{1}{|z|}=0$ était juste.

Je continue d'essayer de comprendre même si je manque un peu de temps cette semaine.
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Lundi 10 Décembre 2012, 21:38

Oui, ça marche aussi. J'avais oublié cette façon de faire… J'ai peut-être un peu trop compliqué.

B.A.
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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Lundi 10 Décembre 2012, 21:48

Merci.

Alors je me lance...

$\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{z^3}{z^4(1+2z^{-2}+z^{-1})}\right|=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\dfrac{1}{|z|}=0$


$\left| e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos\theta+i\sin\theta}\right|=e^{-t|z|\sin\theta}$

On a donc :

$\ds\lim_{|z|\to+\infty}\ds\int_{\alpha_r}\left|\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|dz=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left|\dfrac{1}{|z|}\right|\ds\int_0^\pi|z|e^{i|z|t\theta}d\theta$

$=\ds\lim_{|z|\to+\infty}\dfrac{|z|}{|z|}\ds\int_0^\pi \left|e^{i|z|t\theta}\right|d\theta$

$=2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left|e^{i|z|t\theta}\right|d\theta$

$=2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-|z|t\sin\theta}d\theta$


D'après l'inégalité de la corde, on a :

$0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\sin\theta\geq\dfrac{2}{\pi}\theta$.

On obtient :

$\ds\lim_{|z|\to+\infty}\ds\int_{\alpha_r}\left|\dfrac{z^3}{(z^2+1)^2}\right|dz\leq2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{-rt2\theta}{\pi}}d\theta$

$2\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{-rt2\theta}{\pi}}d\theta\leq2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left[\dfrac{-\pi}{2rt}e^{\frac{-2rt\theta}{\pi}}\right]_0^{\pi/2}$

$2\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{-rt2\theta}{\pi}}d\theta\leq2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left(\dfrac{-\pi}{2rt}e^{-rt}+\dfrac{\pi}{2rt}\right)=0$

Donc : $\ds\lim_{r\to+\infty}\ds\int_{\alpha_r}\dfrac{z^3e^{itz}}{(z^2+1)^2}dz=0$
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Re: méthode des résidus

Messagepar balf » Lundi 10 Décembre 2012, 23:02

Juste après « On a donc : », je ne comprends pas la première égalité : à gauche, on a l'intégrale de la fonction rationnelle z³/(z² + 1)² (ou du moins de son module) et à droite apparaît l'exponentielle. ???

B.A.
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Re: méthode des résidus

Messagepar paspythagore » Mardi 11 Décembre 2012, 21:16

Bonsoir.

Je ne sais pas si, en un seul message, je pourrai faire la liste de tout ce qui est faux mais une chose est sûre, pour un éventuel visiteur ce que j'ai écrit est tout ce qu'il ne faut pas écrire.
J'ai tellement passer d'heures à comprendre l'aspect calculatoire que j'ai oublié le reste...

Les limites : pourquoi se compliquer la vie plutôt que de l’écrire qu'à la fin.
Je ne peux pas écrire des limites si je ne sais pas si elles existent.

$2\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{-rt2\theta}{\pi}}d\theta\leq2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\left(\dfrac{-\pi}{2rt}e^{-rt}+\dfrac{\pi}{2rt}\right)=0$
ne veut probablement rien dire car le premier terme est $>0$, c'est sa limite qui tend vers 0.

$=2\ds\lim_{|z|\to+\infty}\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left|e^{i|z|t\theta}\right|d\theta$ probablement faux.
Cela n'est vrai que plus loin avec le $\sin\theta$.

Je pense qu'il est plus sage, et plus juste ?, de commencer comme cela :

$|zf(z)|=\left|\dfrac{z^4  e^{itz}}{(z^2+1)^2}\right|\leqslant \left| e^{itz}\right|$.

Comme $\left| e^{itz}\right|=\left|e^{itr(\cos\theta+i\sin\theta)}\right|=e^{-rt\sin\theta}$ sur $\alpha_r$.

$\left|\ds\int_{\alpha_r} f(z) dz\right|=\left|\ds\int_{\alpha_r} zf(z) \dfrac{dz}{z}\right|\leqslant \ds\int_0^{\pi}|zf(z)| d\theta \leqslant \int_0^{\pi}e^{-rt\sin\theta} d\theta$
$= 2\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-rt\sin\theta} d\theta $.

D'après l'inégalité de la corde, on a :

$0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\sin\theta\geqslant \dfrac{2}{\pi}\theta \Longrightarrow e^{-rt\sin\theta}\leqslant e^{\frac{-2rt}{\pi}\theta}$.

On a donc :

$\left|\ds\int_{\alpha_r} f(z) dz\right|\leqslant 2\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{-2rt}{\pi}\theta} d\theta $.

$\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{-2rt}{\pi}\theta} d\theta=\left[\dfrac{-\pi}{2rt}e^{\frac{-2rt\theta}{\pi}}\right]_0^{\pi/2}=\left(\dfrac{-\pi}{2rt}e^{-rt}+\dfrac{\pi}{2rt}\right)=\dfrac{\pi}{2rt}(1-e^{-rt})$.

Finalement, $\left|\ds\int_{\alpha_r} f(z) dz\right|\leqslant \dfrac{\pi}{rt}(1-e^{-rt})$.

Puis passer à la limite.
paspythagore
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