Méthode congruence

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Méthode congruence

Messagepar Le_golbarg » Mercredi 09 Mai 2007, 17:34

J'ai mes examen dans 2 semaine, et j'ai pas pu aller au cours qui portait sur ca,
comment résoutons un systeme de ce type ?
$\left\{ \begin{array}{l} x\equiv y \mod a \\  x\equiv z \mod b  \end{array} \right.}$
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Messagepar Arnaud » Mercredi 09 Mai 2007, 17:54

C'est une application du théorème chinois.
Je te laisse un peu chercher sur le net ou dans tes bouquins, et pis tiens nous au courant ;)
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Un peu d'info - Pyromaths
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Pas d'aide en MP (non plus)
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Messagepar Le_golbarg » Mercredi 09 Mai 2007, 22:39

Si $a$ et $b$ sont pas premier entre eux c'est possible ?
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Messagepar guiguiche » Jeudi 10 Mai 2007, 12:54

Le_golbarg a écrit:Si $a$ et $b$ sont pas premier entre eux c'est possible ?

$a\wedge b=1\;\Leftrightarrow\;(\Z/a\Z) \times (\Z/b\Z) \underset{isomorph.}{\longrightarrow} \Z/(ab)\Z$
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Jean-charles » Jeudi 10 Mai 2007, 15:15

Par l'absurde si il existe $x$ tel que $\left\{ \begin{array}{l} x\equiv 5 \mod 4 \\  x\equiv 3 \mod 8  \end{array} \right.}$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x\equiv 10 \mod 8 \\  x\equiv 3 \mod 8  \end{array} \right.}$

Donc $2x-x\equiv 10-3 \mod 8$ et $x\equiv 7 \mod 8$
Ce qui est impossible car 7 et 3 sont différents modulo 8.
Par conséquent si $pgcd(a ; b) \neq 1 $, il se peut qu'il n'y est pas de solution.

Par contre si $pgcd(a ; b) = 1 $ alors il existe $(u ; v)$ tel que $au+bv=1$.
Et à l'aide de cette égalité, on peut construire une solution.
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
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