Mesure de Dirac

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Mesure de Dirac

Messagepar pierresimpore » Samedi 08 Octobre 2016, 01:12

Bonjour, je voulais montrer que la mesure de Dirac est une mesure mais je bloque.
Soit $(E, T)$ un espace mesurable et $ a\in E$, on appelle mesure de Dirac de masse $a$ la mesure
$m_a : \begin{cases} m_a(A) =  1, & \text{si } a\in A  \\ m_a(A) = 0, & \text{si } a\notin A \end{cases}$
j'ai du mal à debuter donc besoin de piste.
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Re: mesure de dirac

Messagepar rebouxo » Samedi 08 Octobre 2016, 15:47

Utiliser la définition d'une mesure ? C'est loin tout cela, mais il me semble avoir fait cela comme exemple simple

Olivier
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Re: Mesure de Dirac

Messagepar balf » Samedi 08 Octobre 2016, 23:43

Il suffit de vérifier la σ-additivité: si $A_i$ est une famille dénombrables de parties deux à deux disjointes, et $A=\bigcup\limits_iA_i$ alors

$$\displaystyle\mu_a(A)=\sum_i \mu_a(A_i).$$

Deux cas sont à envisager:
  • ou bien $a$ n'appartient à aucun des $a_i$, donc pas à leur réunion $A$ non plus. En ce cas les deux membres sont égaux à 0 ;
  • ou bien $a$ appartient à l'un des $a_i$, donc aussi à $A$. Mais il appartient à l'un des $A_i$ exactement, puisque les éléments de la famille sont deux à deux disjoints. Les deux membres sont donc tous deux égaux à 1.
B.A.
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