matrices et coordonnées barycentriques

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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matrices et coordonnées barycentriques

Messagepar paspythagore » Samedi 27 Avril 2013, 16:57

Bonjour.

Je doute un peu sur ces deux exercices non corrigés, notamment pour la les démonstration et le concourants à l'infini".
Merci de m'aider.
Soit $k$ un corps et soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $3$ sur $k$. On fixe un repère affine de $\mathcal{E}$ et l'on travaille en coordonnées barycentrique dans celui_ci.
Soit $\mathcal{P}$, $\mathcal{P'}$, $\mathcal{P''}$ et $\mathcal{P'''}$ quatre plans de $\mathcal{E}$ définis par les équations $ax+by+cz+dt=0$, $a'x+b'y+c'z+d't=0$, etc.
Interpreter géométriquement (en termes de la configuration des plans étudiés) les rangs des matrices :
1)

$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}$$


2)

$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\1&1&1&1\end{pmatrix}$$


3)

$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a


1) Si la matrice est de rang $1$, les plans sont confondus ou parallèles.
Si la matrice est de rang $2$ les plans sont sécants et la matrice définit une droite.
2) Si la matrice est de rang $3$ les plan sont sécants, leurs intersection est une droite.
Si la matrice est de rang $2$ les plans sont parallèles.
3) Si la matrice est de rang $3$ les trois plans sont sécants ou parallèles.
Si la matrice est de rang $2$, deux plans sont parallèles et le troisième sécant.
Si la matrice est de rang $1$, les trois plans sont parallèles, confondus ou sécants.
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Re: matrices et coordonnées barycentriques

Messagepar Tonn83 » Vendredi 01 Novembre 2013, 20:28

Question 1
Votre réponse est correcte.
Un point de coordonnées barycentriques $(x,y,z,t)$ appartient à l'intersection des plans $P$ et $P'$ si et seulement si la matrice colonne $\begin{pmatrix}x&y&z&t'\end{pmatrix}^T$ appartient au noyau de la matrice

$$A=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}$$

Ainsi, $P\cap P'$ et $\ker A$ ont même dimension. Les plans P et P' sont confondus si et seulement si $A$ est de rang 1.

Question 2 :
La matrice donnée peut-elle être de rang 1 ?

Question 3 :
Revoyez le cas où la matrice est de rang 3 !
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