[MP] Matrice et valeurs propres

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[MP] Matrice et valeurs propres

Messagepar peg » Lundi 27 Août 2007, 20:59

On considère l'application f de $\R^3$ dans $M_2(\C)$ qui à tout triplet $(x_1, x_2, x_3)$ fait correspondre la matrice :


$$\begin{pmatrix} x_3 & x_1-ix_2 \\ x_1+ix_2 & -x_3 \end{pmatrix}$$



Voici la question à laquelle je dois répondre :
Montrer que f est un ismorphisme de $\R^3$ sur Imf = $H$ et donner ses valeurs propres.

J'ai montré que f est injective, de $\R^3$ de dimension 3 dans $H$ également de dimension 3 donc f est bijective.
De plus elle est linéaire donc f est un ismorphisme de $\R^3$ sur Imf = $H$

Je trouve comme base $B$ de $H$ les trois matrices suivantes :

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$
$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Or $f(e_1)=A$ ; $f(e_2)=B$ ; $f(e_3)=C$
Donc $M(f,e_i,B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Donc $\lambda = 1$ est valeur propre d'ordre 3 de f.

Ceci me semble trop simple....
Merci de me dire ce que vous en pensez
PEG

[Edit Kojak : suppression de doublon et merci de renseigner le profil ]
peg
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Re: [MP] Matrice et valeurs propres

Messagepar Nipin » Mardi 28 Août 2007, 19:29

Simple mais efficace, je ne vois pas de problème dans ta réponse.
Nipin
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Re: [MP] Matrice et valeurs propres

Messagepar peg » Mercredi 29 Août 2007, 09:30

Merci Pin pour ta réponse....
Je pense que ma résolution est correcte car le résultat trouvé même s'il me semblait trop simple se confirme dans les questions suivantes.....
Merci encore
PEG
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Re: [MP] Matrice et valeurs propres

Messagepar lolie » Mercredi 29 Août 2007, 10:45

Juste une petite remarque. Il me semble inutile d'utiliser $H$ de dimension 3 , la surjectivité de f dans Imf est immédiate et on en déduit avec l'injectivité de f que f est un isomorphisme et qu'il transforme une base de $\R^3$ en une base de Imf.
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Re: [MP] Matrice et valeurs propres

Messagepar peg » Mercredi 29 Août 2007, 19:18

Tu as raison lolie mais les deux méthodes sont correctes et $dimH=3$ se montre très rapidement.
Merci en tous les cas pour ta remarque justifiée.
peg
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