Majoration d'un reste

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.
Répondre

Majoration d'un reste

Messagepar othiprof » Dimanche 28 Janvier 2018, 20:24

Bonsoir,
je suis à la recherche d'une bonne âme pour m'aider :
je cherche à déterminer une majoration du reste de la série de terme général $\dfrac{1}{n!}$ et plus particulièrement à prouver que $\sum\limits_{k\ge n+1}\dfrac{1}{k!}\le \dfrac{1}{n.n!}$
Mais je n'y parviens pas... je bloque totalement. Help!??
othiprof
Hecto-utilisateur
 
Messages: 52
Inscription: Vendredi 03 Avril 2015, 11:12
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant
Haut

Publicité

Re: Majoration d'un reste

Messagepar guiguiche » Dimanche 28 Janvier 2018, 22:13

Ça ressemble à l'inégalité de Taylor-Lagrange avec la fonction exponentielle.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant
Haut

Re: Majoration d'un reste

Messagepar othiprof » Lundi 29 Janvier 2018, 08:39

Celle-ci ? $\left \|f(b)-f(a)-\sum \limits_{p=1}^k \dfrac{(b-a)^p}{p!} f^{(p)}(a) \right\| \le M \dfrac{|b-a|^{k+1}}{(k+1)!}$

Auquel cas, avec $a = 0$, $b = 1$, $k = n$ j'obtiendrais :

$|e-S_n| \le M \dfrac{1}{(n+1)!}$ soit $R_n \le M \dfrac{1}{(n+1)!}$

mais que prendre comme $M$ sachant que $M$ est un majorant des dérivées ... ?

Par ailleurs, n'y aurait-il pas une méthode qui ne ferait pas appel à la fonction exponentielle, ce qui permettrait de prouver que la série des $\dfrac{1}{n!}$ converge vers $e$ ?
othiprof
Hecto-utilisateur
 
Messages: 52
Inscription: Vendredi 03 Avril 2015, 11:12
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant
Haut

Re: Majoration d'un reste

Messagepar OG » Lundi 29 Janvier 2018, 09:06

Bonjour

Pour la convergence, il y a l'exercice (classique) (dont je ne me rappelle plus) pour montrer que $e$ est irrationnel et qui passe par les suites adjacentes (grosso modo la somme partielle et la somme partielle +$1/(n\cdot n!)$).

L'étude des deux suites doit d'ailleurs donner des idées pour la majoration.

Pour la majoration on peut écrire

$$ \sum_{k\geq n+1} \frac{1}{k!}= \frac{1}{n!}( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots )$$



Pour majorer

$$\frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots$$



on factorise par $1/(n+1)$, on majore chaque terme ($k\geq 3$) $1/((n+2)\cdot (n+k)$ par $1/((n+(k-1))(n+k)$ puis coup des suites télescopiques... il doit rester un $2/(n+2)$...

O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2286
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence
Haut

Re: Majoration d'un reste

Messagepar guiguiche » Lundi 29 Janvier 2018, 11:07

othiprof a écrit:mais que prendre comme $M$ sachant que $M$ est un majorant des dérivées ... ?


Ici, $M=e$ puisque les dérivées successives de exp sont toujours égales à exp elle-même, la plus grande valeur absolue sur [0,1] est donc obtenue en 1. Après, il reste à trouver un rang à partir duquel $\dfrac{e}{n+1}<\dfrac{1}{n}$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant
Haut

Re: Majoration d'un reste

Messagepar balf » Mardi 30 Janvier 2018, 15:37

Je reprends la méthode directe de OG, en la simplifiant – la somme de la série géométrique suffit:
$R_n=\dfrac1{(n+1)!}+\dfrac1{(n+2)!}+\dots+\dfrac1{(n+k)!}+\dotsm$
$\dfrac1{n!}\biggl(\dfrac 1{n+1}+\dfrac1{(n+1)(n+2)}+\dots+\dfrac1{(n+1)(n+2)\dotsm(n+k)}+\dotsm \biggr) $
$\leqslant\dfrac1{n!}\biggl(\dfrac 1{n+1}+\dfrac1{(n+1)^2}+\dots+\dfrac1{(n+1)^k}+\dotsm \biggr) =\dfrac1{n!}\dfrac{\dfrac 1{n+1}}{1-\dfrac{1\strut}{(n+1)}}=\dfrac1{n!}\dfrac1{(n+1)-1}=\dfrac1{n\,n!}.$

B.a.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3862
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence
Haut

Re: Majoration d'un reste

Messagepar guiguiche » Mardi 30 Janvier 2018, 21:35

Effectivement, c'est pas mal.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8071
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant
Haut

Re: Majoration d'un reste

Messagepar othiprof » Mardi 30 Janvier 2018, 21:42

Mais oui, c'est génial! Vraiment, merci à tous.
othiprof
Hecto-utilisateur
 
Messages: 52
Inscription: Vendredi 03 Avril 2015, 11:12
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant
Haut
Répondre

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Google [Bot] et 3 invités

Développé par phpBB® Forum Software © phpBB Group
Traduction par phpBB-fr.com