Limite

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Limite

Messagepar celtic » Vendredi 20 Mai 2011, 08:10

Bonjour,

soit $G(w)=\dfrac{-\frac{(1-a)}{(1+a)}+\frac{2}{T}\frac{(1-a)}{(1+a)}}{w+\frac{(1-a)}{(1+a)}\frac{2}{T} }$

je recherche la $\ds\lim_{T \rightarrow 0^+}$ de $G(w)$

Faut il identifier teme à terme?

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Re: Limite

Messagepar girdav » Vendredi 20 Mai 2011, 08:40

Bonjour,
peux-tu préciser qui est $a$ ? Sinon, on devrait pouvoir s'en sortir en multipliant en haut et en bas par $T$.
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Re: Limite

Messagepar celtic » Vendredi 20 Mai 2011, 08:49

salut

$a=e^{-t}$

en fait on doit trouver $G(w)\rightarrow\dfrac{1}{1+w}$
Dernière édition par celtic le Vendredi 20 Mai 2011, 08:53, édité 1 fois.
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Re: Limite

Messagepar girdav » Vendredi 20 Mai 2011, 08:51

Et qui est $t$ ?
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Re: Limite

Messagepar celtic » Vendredi 20 Mai 2011, 08:54

en fait on doit trouver $G(w)\rightarrow\dfrac{1}{1+w}$

et$a=e^{-T}$
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Re: Limite

Messagepar kojak » Vendredi 20 Mai 2011, 09:28

Bonjour Celtic,

Au numérateur, tu peux factoriser par $\dfrac{1-a}{1+a}$ et docn il te reste $-1+\dfrac{2}{T}$ qu'il faut réduire au même dénominateur.

Il faut aussi remplacer ton $a$ par $e^{-T}$.

Ensuite l'écrire sous la forme $\dfrac{1-e^{-T}}{T}\times \dfrac{-T+2}{1+e^{-T}}$ de façon à pouvoir prendre la limité de chacun des termes avec soit des équivalents ou développements limités, ou limite connue.
pas d'aide par MP
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Re: Limite

Messagepar celtic » Vendredi 20 Mai 2011, 09:54

Bonjour Kojak,

$G(w)=\dfrac{-\frac{(1-a)}{(1+a)}+\frac{2}{T}\frac{(1-a)}{(1+a)}}{w+\frac{(1-a)}{(1+a)}\frac{2}{T} }= \dfrac{\left(\frac{(1-a)}{(1+a)}\right)\left (\frac{2-T}{T}\right ) }{w+\frac{(1-a)}{(1+a)}\frac{2}{T} } = \dfrac{\left(\frac{(1-e^{-T} )}{(1+e^{-T} )}\right)\left (\frac{2-T}{T}\right ) }{w+\frac{(1-e^{-T} )}{(1+e^{-T} )}\frac{2}{T} }$

Ensuite il faut trouver les limites connues où sont elles?

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Re: Limite

Messagepar kojak » Vendredi 20 Mai 2011, 10:02

celtic a écrit:
Ensuite il faut trouver les limites connues où sont elles?



ici :

kojak a écrit: $\dfrac{1-e^{-T}}{T}$
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Re: Limite

Messagepar celtic » Vendredi 20 Mai 2011, 12:28

$G(w)=\dfrac{\left(\frac{(1-e^{-T} )}{T} \right) \left (\frac{2-T}{1+e^{-T} )} \ right ) }{w+\frac{(1-e^{-T} )}{(1+e^{-T} )}\frac{2}{T} }$

$\frac{(1-e^{-T} )}{T} \rightarrow 0$ quand $T\rightarrow 0^+$

$\frac{2-T}{1+e^{-T} )}  \rightarrow 1$ quand $T\rightarrow 0^+$

Et ça ne colle pas !

par contre si

$\frac{(1-e^{-T} )}{T} \rightarrow T$ quand $T\rightarrow 0^+$

c'est bon mais je ne comrprends pas :idea:

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Re: Limite

Messagepar kojak » Vendredi 20 Mai 2011, 12:52

celtic a écrit:$\frac{(1-e^{-T} )}{T} \rightarrow 0$ quand $T\rightarrow 0^+$
Non, ce n'est pas bon car c'est du type $\dfrac{0}{0}$.

Tu ne connais pas $\ds\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{x}$ ? sinon, tu passes par un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $e^x$.


celtic a écrit:$\frac{2-T}{1+e^{-T} )}  \rightarrow 1$ quand $T\rightarrow 0^+$
Oui.
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Re: Limite

Messagepar celtic » Vendredi 20 Mai 2011, 13:18

J'ai trouvé

$\frac{(1-e^{-T} )}{T} \rightarrow 1$ quand $T\rightarrow 0^+$

Le numérateur tend vers 1 quand $T\rightarrow 0^+$

Quant au dénominateur $w+\frac{(1-e^{-T} )}{(1+e^{-T} )}\frac{2}{T}\rightarrow1$ quand $T\rightarrow 0^+$

$G(w)\rightarrow\dfrac{1}{1+w}$quand $T\rightarrow 0^+$

Celtic :wink:
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