Limite-DL

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Limite-DL

Messagepar Monika » Vendredi 26 Octobre 2007, 13:59

Je un exercice qui me pose un problème Exercice Calculer la limite
suivant en se servant d'équivalence
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}\right)$
Dans ce cas je pense qu'il faut commencer par un changement de
variable(vue que que les relation d'équivalence sont au voisinage de 0)
Posons $t=\frac{1}{x}$, on obtient
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}\right)=\lim_{t\rightarrow0}\sqrt{\frac{4}{t}+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{1+2t}}\right)$
mais $(1+x)^{\alpha}\sim_{0}1+\alpha x$, donc
$\lim_{t\rightarrow0}\sqrt{\frac{4}{t}+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{1+2t}}\right)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sqrt{4+t}}{\sqrt{t}}\ln\left(1-\frac{1+\frac{1}{2}t}{1+x}\right)=\lim_{t\rightarrow0}2\frac{1+\frac{t}{8}}{\sqrt{t}}\ln\left(1-\frac{1+\frac{1}{2}t}{1+t}\right)$

Je ne sais pas comment continuer. :?:
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait.
Monika
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Re: Limite-DL

Messagepar Jean-charles » Vendredi 26 Octobre 2007, 14:10

Bonjour
Tu n'as pas besoin d'équivalent pour trouver la limite en $+\infty$ puisque ce n'est pas une forme indéterminée.
Vers quoi tend $\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}$ quand $x$ tend vers $+\infty$
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
Jean-charles
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Re: Limite-DL

Messagepar guiguiche » Vendredi 26 Octobre 2007, 14:27

Monika a écrit:mais $(1+x)^{\alpha}\sim_{0}1+\alpha x$

C'est plutôt : $(1+x)^{\alpha}\sim_{0}1+\alpha x \sim 1$
Un équivalent avec plusieurs termes est presque toujours une source d'erreurs par la suite.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Re: Limite-DL

Messagepar Monika » Vendredi 26 Octobre 2007, 14:30

Bonjour,
Oui vous avez raison,notre forme ne pas une forme indéterminée.
Mais ici le but de l'exercice ici est de savoir l'utilité des relations l'équivalence dans le calcul de limite . Et en fait ici je suis obligé de respecter l'enocée de l'exercice
Exercice:
Calculer la limite suivant en se servant d'équivalence
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}\right)$
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Re: Limite-DL

Messagepar dark_forest » Vendredi 26 Octobre 2007, 14:35

Bonjour,

Je pense que ton professeur a du se tromper en faisant l'exercice, car ici la forme n'est pas indéterminée. Par contre si on enlève la racine carré au dénominateur on a une forme indéterminée, c'est peut etre ce à quoi il avait pensé.
dark_forest
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