[Agreg] limite de suite

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[Agreg] limite de suite

Messagepar sotwafits » Dimanche 30 Octobre 2005, 16:39

Bonjour

Un ami, qui passe l'agreg interne de maths, a bloqué sur la question suivante :

Soit $f:\mathbb{R}^+\longmapsto\mathbb{R}$ dérivable, croissante, telle que $f'$ est décroissante.
On suppose de plus $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{f(x)}x=0$

On définit pour $n\in\mathbb{N},\quad b_n=\dfrac1{f(n)}$

Montrer que

$$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}n(b_n-b_{n+1})=0$$



Cette question apparaît au milieu d'un problème donné par le CNED. Le but du problème est d'étudier la convergence uniforme des séries de Fourier du type $\sum b_n\sin nx$$(b_n)$ est décroissante et tend vers 0 (c'est sans doute tiré d'un sujet d'agreg antérieur mais la référence n'était pas indiquée. D'ailleurs, si quelqu'un a la référence, je suis preneur)

On a eu beau retourner le problème dans tous les sens, on n'a pas trouvé

Si quelqu'un a une idée...
sotwafits
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 30 Octobre 2005, 17:24

Une piste:

Inégalité des accroissements finis: $\dfrac{f'(n+1)}{f^2(n+1)}\leq b_n-b_{n+1}\leq \dfrac{f'(n)}{f^2(n)}$,
d'où $0\leq n(b_n-b_{n+1})\leq \dfrac{nf'(n)}{f^2(n)}= \dfrac{nf'(n)}{f(n)} \dfrac1{f(n)}$,
on a (pour $p$ fixé tel que $f(p)>0$ et $n>p$): $f(n)=f(p)+\int_p^n f'(t)\,dt \geq f(p)+(n-p)f'(n)$ d'où
$0\leq \dfrac{nf'(n)}{f(n)}\leq \dfrac{nf'(n)}{f(p)+(n-p)f'(n)}\leq \dfrac{nf'(n)}{(n-p)f'(n)}\leq \dfrac{1}{1-p/n}$ qui tend vers $1$.

On en déduit que $\dfrac{nf'(n)}{f^2(n)}$ tend vers $0$, ce qui donne le résultat.
P.Fradin
 

Messagepar sotwafits » Dimanche 30 Octobre 2005, 20:07

Merci :D

J'avais bien pensé à utiliser le TAF, mais je ne voyais pas quoi faire de $\dfrac{nf'(n)}{f(n)^2}$
sotwafits
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