Limite d'une suite numérique

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Limite d'une suite numérique

Messagepar nadia0016 » Dimanche 16 Mars 2014, 11:10

Bonjour,

J'ai une suite dont l'expression est : $(\frac{1}{3}+ \frac{1}{n})^n$

Le but c'est de calculer la limite de cette suite.

Une solution est possible en utilisant le principe des Gendarmes : $0 \le (\frac{1}{3}+ \frac{1}{n})^n \le (\frac{5}{6})^n $ pour tout $ n \ge 2$,
la limite est donc égale à $0$.

Alors ma question est la suivante: si je procède en utilisant la méthode directe de calcul des limites càd : $\ds\lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{1}{3}+ \frac{1}{n})^n = (\frac{1}{3}+\frac{1}{+\infty})^{+\infty}=(\frac{1}{3})^{+\infty}=0$ . le résultat est bon ça se voit, mais est ce que la méthode est bonne ?

Merci d'avance
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Re: Limite d'une suite numérique

Messagepar Minibob59 » Dimanche 16 Mars 2014, 11:15

Le résultat est bon, mais la méthode est fausse.
Par exemple, si on modifie l'exercice :

$$\lim_{n\to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = \mathrm{e} \neq 0$$



Pour la méthode, je pense qu'une récurrence sur $n$ fonctionne sans trop de problème.
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Re: Limite d'une suite numérique

Messagepar nadia0016 » Dimanche 16 Mars 2014, 14:40

Minibob59 a écrit:Le résultat est bon, mais la méthode est fausse.
Par exemple, si on modifie l'exercice :

$$\lim_{n\to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = \mathrm{e} \neq 0$$



Pour la méthode, je pense qu'une récurrence sur $n$ fonctionne sans trop de problème.



Je vous remercie pour votre réponse. pour l'exemple que vous avez donné on voit clairement que la méthode directe marche pas du tout. juste une toute petite remarque à faire c'est que cette limite $\lim_{n\to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n $ donne $1$ par la méthode directe et non pas $0$ donc : $\lim_{n\to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = \mathrm{e} \neq 1$ .

Est ce que vous avez une explication précise, pourquoi ça marche pas ?!!

Merci
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Re: Limite d'une suite numérique

Messagepar Minibob59 » Dimanche 16 Mars 2014, 14:48

Si on écrit

$$\lim_{+\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = 1$$

on fait une erreur de forme indéterminée.
En effet,

$$\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = \exp{(n \ln{(1 + \frac{1}{n}))}$$


donc on a une FI de la forme $+\infty \times 0$.
Il faut lever l'indétermination, et pour ça, on peut utiliser un DL ou si on ne connaît pas cette notion, un encadrement de $n \ln{(1+\frac{1}{n})$.

Dans votre cas, on pourrait utiliser cette méthode également, mais on trouverait une limite nulle.
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Re: Limite d'une suite numérique

Messagepar nadia0016 » Dimanche 16 Mars 2014, 15:06

Maintenant je comprend pourquoi

Merci pour votre aide !
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Re: Limite d'une suite numérique

Messagepar guiguiche » Dimanche 16 Mars 2014, 16:35

nadia0016 a écrit:Est ce que vous avez une explication précise, pourquoi ça marche pas ?!!

L'idée générale de la problématique est qu'il n'est pas autorisé d'effectuer un passage à la limite dans l'expression figurant entre les parenthèses indépendamment du passage à la limite de l'expression figurant dans l'exposant : les deux expressions varient simultanément, déterminer leurs limites séparément puis mettre ensemble ces limites donne généralement un résultat faux.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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