[Licence] Les ensembles

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[Licence] Les ensembles

Messagepar Kazik » Vendredi 30 Septembre 2005, 12:20

Bonjour,

je n'arrive pas a démontrer que : $\mathcal{C}_E(A\cap B)=\mathcal{C}_EA\cup\mathcal{C}_EB$

(lire complémentaire pour $\mathcal{C}$)

merci d'avance.
Kazik
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Messagepar P.Fradin » Vendredi 30 Septembre 2005, 13:20

Bonjour,

Pour ce genre de chose on fait une table de vérité: pour $x\in E$ quelconque,

<center>$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x\in A&x\in B&x\in C(A)\cup C(B)& x\in C(A\cap B)\\ \hline 1&1&0&0\\ \hline 1&0&1&1\\ \hline 0&1&1&1\\ \hline 0&0&1&1\\ \hline \end{array}$</center>

Avec 0=faux et 1=vrai. Les deux dernières colonnes sont identiques ce qui prouvent que les deux ensembles ont bien les mêmes éléments.
P.Fradin
 

Messagepar Kazik » Vendredi 30 Septembre 2005, 15:12

Bonjour,

je ne comprend pas comment vous remplissez votre table :?:
Kazik
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Messagepar P.Fradin » Vendredi 30 Septembre 2005, 15:41

Pour la première ligne:

$x\in A$ et $x\in B$ sont vraies (1 et 1) donc $x\in C(A) \cup C(B)$ est fausse et
$x\in C(A\cap B)$ est fausse.

Pour la deuxième ligne:

$x\in A$ est vraie et $x\in B$ est fausse (1 et 0) donc $x\in C(A) \cup C(B)$ est vraie et $x\in C(A\cap B)$ est vraie.

etc...
P.Fradin
 

Les ensembles

Messagepar Bruno » Jeudi 06 Octobre 2005, 10:08

Bonjour.

Il y a une autre méthode de démonstration, algébrique celle-là (celle de P.Fradin étant sémantique), elle est basée sur la propriété suivante : le complémentaire de $A \subset E$ est l'unique partie $X \subset E$ vérifiant :
<center>$A \cap X = \emptyset \quad {\rm et} \quad A \cup X = A$</center>
Il n'y a donc qu'à vérifier ces deux propriétés dans l'exemple choisi ce qui se fait tout seul grâce aux lois de Morgan (distributivité relative de l'inclusion et de la réunion).

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Messagepar Bruno » Jeudi 06 Octobre 2005, 10:10

Quelque chose m'a échappé dans le fonctionnement du TeX apparemment. Désolé :oops:

Bruno

P.S. Je pense avoir compris... La fonction d'édition est fabuleuse !
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Messagepar MB » Jeudi 06 Octobre 2005, 16:53

Bruno a écrit:P.S. Je pense avoir compris... La fonction d'édition est fabuleuse !


Oui, il me semble que le code latex est bon !
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Messagepar nirosis » Jeudi 06 Octobre 2005, 17:32

Tu t'en sors très bien Bruno ! C'est bien d'essayer de se mettre au latex... au moins un minimum.
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Messagepar Bruno » Jeudi 06 Octobre 2005, 17:43

Merci nirosis, tu me fais rougir ! :oops:

Bruno

P.S. Je n'avais qu'à lire la note en dessous de la fenêtre d'édition ! :roll:
Bruno
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