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Les éléments inversibles de l'anneau Z/NZ

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Les éléments inversibles de l'anneau Z/NZ

Messagepar ArthuroG » Samedi 25 Avril 2020, 09:55

Bonjour,

dans un exercice, on me demande de justifier que l'entier $N=a^n-1$ avec $a,n\ge 2$ est tel que $n\mid\phi(N)$.

J'ai compris l'idée principale qui est de travailler dans $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$.

En effet, dans cet anneau, on a les équivalences suivantes :

$N=a^n-1\iff \overline{N}=\overline{a^n-1} \iff \overline{0}=\overline{a}^n-\overline{1} \iff \overline{a}^n=\overline{1}$.


On me demande de justifier qu'alors $\overline{a}\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ et je ne vois pas pourquoi. Et là, je fais un blocage.

Dans la leçon, j'ai vu que $pgcd(a,N)=1\iff\overline{a}\in(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$. Est-ce le résultat qu'il faut utiliser ?

Ou, plus simplement, écrire que $\overline{a}^n=\overline{1}\iff \overline{a}^{n-1}\times\overline{a}=\overline{1}$.

Ainsi, pour l'élément $\overline{a}$, il existe un élément $\overline{b}=\overline{a}^{n-1}\neq\overline{0}$, tel que $\overline{a}\times\overline{b}=\overline{1}$. Et je retrouve la définition d'être inversible.

Mais avec des hésitations puisque l'élément $\overline{b}$ "est fonction" de l'élément $\overline{a}$.

Qu'en pensez-vous ?
PS : j'arrive à bien conclure l'exercice sinon avec le théorème de Lagrange.
ArthuroG
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Re: Les éléments inversibles de l'anneau Z/NZ

Messagepar guiguiche » Samedi 25 Avril 2020, 20:34

Oui, c'est cela. C'est assez courant que l'inverse s'exprime en fonction de l'élément de départ : 1/2 s'exprime en fonction de 2 !
Plus sophistiqué, l'inverse d'une matrice inversible est un polynôme en cette matrice.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Re: Les éléments inversibles de l'anneau Z/NZ

Messagepar ArthuroG » Dimanche 26 Avril 2020, 12:53

Merci !
ArthuroG
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