lemme de Lebesgue sur les compacts

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lemme de Lebesgue sur les compacts

Messagepar paspythagore » Jeudi 17 Octobre 2013, 21:42

Bonjour.
Je ne comprends pas ce lemme. Si $X$ est compact, pour toute famille d'ouverts recouvrant $X$, quel que soit $x\in X$, il existe une boule de centre $x$ incluse dans un des ouverts de la famille. Où est la subtilité ?
Qu'est ce qui ne coule pas de source ?

Soit $(X,d)$ un espace métrique compact. Pour toute famille $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ d'ouverts recouvrant $X$, il existe un nombre réel $\alpha$ strictement positif tel que :

$$\forall x\in X,\exists\lambda\in \Lambda/B(x,\alpha)\subset U_\lambda.$$

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Re: lemme de Lebesgue sur les compacts

Messagepar balf » Jeudi 17 Octobre 2013, 22:11

Le rayon de la boule (α) est le même pour tout le monde.
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Re: lemme de Lebesgue sur les compacts

Messagepar paspythagore » Vendredi 18 Octobre 2013, 17:59

J'ai inversé les quantificateurs.
Le lemme veut dire qu'il y a une boule "minimum" dans tout compact ou dans tout recouvrement ?
D'ailleurs cette boule peut être ouverte ou fermée ?
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Re: lemme de Lebesgue sur les compacts

Messagepar balf » Vendredi 18 Octobre 2013, 19:14

Si la boule n'est pas fermée, la boule ouverte correspondante est a fortiori contenue dans un des U$_\lambda$, et cette boule ouverte contient elle-même les boules fermées de rayon strictement plus petit.

L'énoncé signifie simplement que toute boule de rayon assez petit est entièrement contenue dans un des ouverts de la famille recouvrante, indépendamment du centre de la boule. Mais les boules ne sont pas minimales ( en quel sens, d'ailleurs ?) : les boules de rayon inférieur possèdent la même propriété, bien évidemment.

B.A.
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Re: lemme de Lebesgue sur les compacts

Messagepar paspythagore » Vendredi 18 Octobre 2013, 20:33

Merci.
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