lemme de Jordan

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lemme de Jordan

Messagepar paspythagore » Samedi 20 Avril 2013, 11:30

Bonjour.
Une petite question sur la démonstration du lemme de Jordan.

Soit $f$ une fonction complexe continue sur un secteur $\theta_1\leqslant\theta\leqslant\theta_2$ et $\gamma$ le chemin tel que $\gamma$ le chemin tel que $\gamma(\theta)=Re^{i\theta},\theta_1\leqslant\theta\leqslant\theta_2$ (la trajectoire de $\gamma$ est donc un arc de cercle $\Gamma_R$).

On a : $\left|\ds\int_{\Gamma_R}f(z)dz\right|\leqslant\ds\sup_{z\in\Gamma_R}\big|f(z)\big|R\big|\theta_2-\theta_1\big|=\ds\sup_{z\in\Gamma_R}\big|zf(z)\big|\big|\theta_2-\theta_1\big|$

On peut donc en déduire :

Si $\ds\lim_{|z|\to+\infty}zf(z)=0$, alors $\ds\lim_{R\to+\infty}\ds\int_{\Gamma_R}f(z)dz=0$.

Si $\ds\lim_{|z|\to0}zf(z)=0$, alors $\ds\lim_{R\to0}\ds\int_{\Gamma_R}f(z)dz=0$.


$\ds\sup_{z\in\Gamma_R}\big|f(z)\big|R=\ds\sup_{z\in\Gamma_R}\big|zf(z)\big|$ simplement parce que $z$ étant sur l'arc de cercle de rayon $R$, $|z|=R$ ?
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Re: lemme de Jordan

Messagepar balf » Samedi 20 Avril 2013, 12:32

Tout bonnement.

B.A.
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Re: lemme de Jordan

Messagepar paspythagore » Samedi 20 Avril 2013, 12:39

Merci.
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Re: lemme de Jordan

Messagepar paspythagore » Dimanche 21 Avril 2013, 10:12

Bonjour,

je continue mes questions.

il y a une chose que j'ai du loupé : à priori la convergence du module d'une intégrale complexe implique la convergence de l'intégrale ?
Mais ça ne peut marcher que pour une convergence vers $0$, ailleurs il n'y a pas de relation d'ordre dans $\C$. En $0$, non plus d'ailleurs.

Mais alors comment peut on dire que si $\Big|\ds\int f(z)dz \Big|\leq \big|g(z)\big|$ et que $\big|g(z)\big|\to 0$ quand $|z|\to\infty$ que $\ds\lim_{R\to\infty}\ds\int_{\Gamma_R}f(z)dz=0$ avec $R=|z|$.

$R$ est un réel mais $\ds\int_{\Gamma_R}f(z)dz$ est un complexe, ça veut dire que sa partie imaginaire et sa partie réelle tendent toutes deux vers $0$ ?

Je n'arrive pas à me l'expliquer de façon claire.

La suite du cours sur un livre, propose une méthode pour traiter les fonctions $F(t)$ rationnelles, intégrables sur $\R$ et n'ayant pas de pôle réel.

Pour cela il faut supposer $F(t)\underset{|t|\to+\infty}{\sim}\dfrac{A}{t^n}$, avec $n\in\N\setminus\{0,1\}$

Il revient au même de dire que $\ds\lim_{|t|\to+\infty}tF(t)=0$

Pourquoi, on ne sait rien sur $A$ ?
Fichiers joints
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J'ai essayé de faire un dessin avec géogebra, je ne me souviens plus comment faire les flèches pour indiquer le sens trigonométrique et mes 3 chemins gamma 1, gamma 2 et gamma
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Re: lemme de Jordan

Messagepar balf » Dimanche 21 Avril 2013, 13:08

1) La définition de la convergence passe par l'utilisation du module (ou de la norme, si l'on est dans un espace vectoriel normé). Revoyez la définition de la limite.
2) Pour ce qui est de l'intégrale, c'est simplement le principe des gendarmes qui est appliqué.
3) Oui, la limite d'une fonction à valeurs complexes est égale à celle de sa partie réelle + i fois celle de la partie imaginaire. C'est juste la linéarité du passage à la limite.
4) On peut savoir quelque chose sur A si on connaît F.

B.A.
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Re: lemme de Jordan

Messagepar Tonn83 » Mercredi 24 Avril 2013, 12:44

paspythagore a écrit:si $\Big|\ds\int f(z)dz \Big|\leq \big|g(z)\big|$ et que $\big|g(z)\big|\to 0$

Dans le membre de gauche, il faut préciser sur quel chemin vous intégrez $f$. Aussi, $z$ est la variable d'intégration. Votre majoration n'a aucun sens.
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