La caractéristique d'un Anneau

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La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 21:25

Bonsoir,

j'ai un petit problème sur cette exercice :
on appelle caractéristique c d'un anneau A le plus petit entier n tel que $n.1_A=0$ (cad $c=inf\{n\in\mathbb{N}\,,n.1_A=0\}$)

Trouver un anneau A non intègre et dont la caractéristique soit un nombre premier.

Sur wikipédia, il est dit qu'il existe un unique morphisme d'anneaux $f_A : \mathbb{Z}\to A$ tel que $Ker(f_A)=c\mathbb{Z}$, mais je ne m'en sors pas !

Help!
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:13

Déjà, est-ce que tu connais un ensemble qui a pour caractéristique 2 ?
Même question pour p premier.
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:19

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ semblent fonctionner !
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:30

Exactement, sauf que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps pour $p$ premier, donc intègre...mais peut-être que tu peux l'utiliser pour construire un autre anneau.
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:35

Je pensais à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$, le problème c'est que si $A$ est intègre alors $A[X]$ est intègre !
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:46

Effectivement.

Tu peux construire d'autres types d'anneaux avec un corps :)
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:49

Y'a bien les "anneaux quotients", mais j'ai trop de mal avec !
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 22:54

Non, non, beaucoup plus simple.
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:00

La je vois pas, un anneau qui utilise $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:23

:D

Qu'est-ce que tu connais comme exemples simples d'anneaux ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:27

Les plus simples du cours :
$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},M_n(\mathbb{R}),C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:28

Bon, ben parmi ceux-là, il y en a un qui convient, en remplaçant le corps de base...
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:35

Alors j'imagine qu'il s'agit de $M_n(\mathbb{R})$ ou $C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ car ces anneaux ne sont pas intègre!
Le problème c'est que je ne vois pas comment trouver la caractéristique de ces anneaux !

Prenons par exemple $5\mathbb{Z}$ au lieu de $\mathbb{R}$ et n=2 pour les matrices carrés 2x2 : $A=M_2({5\mathbb{Z}})$

Comment trouve-t-on car(A) ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar MB » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:44

Kazik a écrit:Comment trouve-t-on car(A) ?


Tu regardes combien de fois tu dois ajouter $1_A$ pour tomber sur zéro non ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:47

Mais ici $1_A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ !
$n.1_a=\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}$ ce qui donne n=0 non ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Vendredi 28 Septembre 2007, 23:57

Kazik a écrit:Prenons par exemple $5\mathbb{Z}$ au lieu de $\mathbb{R}$


$5\mathbb{Z}$ n'est pas un corps.


$n.1_a=\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}$ ce qui donne $n=0$ non ?


Non !
Que vaut la matrice $\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}$ dans : $M_2({\Z/5\mathbb{Z}})$ ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Samedi 29 Septembre 2007, 00:02

Je voulais écrire $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ !
Oui la matrice vaut $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$, donc si on prend $A=M_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ alors car(A)=3 ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Arnaud » Samedi 29 Septembre 2007, 00:06

Kazik a écrit:donc si on prend $A=M_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ alors car(A)=3 ?


Oui, puisque $3 \times I_2 = 0$.
Arnaud

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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Kazik » Samedi 29 Septembre 2007, 00:08

Merci, j'ai bien compris mais bien bien.
Par contre une petite question en passant :
$\mathbb{Z}$ est-il isomorphe à $M_n(\mathbb{Z})$ ?
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Re: La caractéristique d'un Anneau

Messagepar Jean-charles » Samedi 29 Septembre 2007, 06:17

Kazik a écrit:$\mathbb{Z}$ est-il isomorphe à $M_n(\mathbb{Z})$ ?

Non car $\mathbb{Z}$ est intègre mais pas $M_n(\mathbb{Z})$.
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
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