Inversion de La TZ pole simple réel mutiple Exo 2

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Inversion de La TZ pole simple réel mutiple Exo 2

Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 11:58

Bonjour


$X_{(z)}=\dfrac{3}{(z-0,2)^3(z+0,5)}$



Etape 1 les degrées


Ici$d=4-0=4$

Le premier écantillon non nulle est$x_4$

Etape 2 Equation caractéristique


Ici pour n>4 on a un pole triple $z=0,2$ et un pole simple $z=-0,5$

On a une série de la forme $C_1(-0,5)^n+(C_2+C_3n^2)(0,2)^n$

Je pense que c'est bon pour l'instant :?:

Etape 3 Calculs des résidus


$X_{(z)}z^{n-1} =\dfrac{3z^{n-1}}{(z-0,2)^3(z+0,5)}$

Résidus en $z=-0,5$


$X_{(z)}z^{n-1} =[\dfrac{3z^{n-1}}{(z-0,2)^3}]_{z=-0,5}=-\dfrac{3}{0,34}(-0,5)^{n-1}=-17,65[-0,5)^n$

Par contre je sais pas trop comemnt traiter le pole triple c'est une $\dfrac{d^2}{dz}$
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Re: Inversion de La TZ pole simple réel mutiple Exo 2

Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 13:02

Salut Celtic,
celtic a écrit:Bonjour
Ici$d=4-0=4$
Le premier échantillon non nulle est$x_4$
oui.
celtic a écrit:Ici pour n>4 on a un pole triple $z=0,2$ et un pole simple $z=-0,5$
Oui.
celtic a écrit:On a une série de la forme $C_1(-0,5)^n+(C_2+C_3n^2)(0,2)^n$
presque : puisque tu as un pole triple $0.2$ , cela te donne en original du $(C_2+C_3n+C_4n^2)(0.2^n$
celtic a écrit:Résidus en $z=-0,5$

$X_{(z)}z^{n-1} =\ldots=-\dfrac{3}{0,34}(-0,5)^{n-1}$
au dénominateur garde la valeur exacte $-0.343$ et ensuite je ne sais comment t'as fait ton calcul mais tu devrais obtenir $-8.746(-0.5)^{n-1}$

celtic a écrit:Par contre je sais pas trop comemnt traiter le pole triple c'est une $\dfrac{d^2}{dz}$
effectivement c'est une dérivée seconde $\dfrac{1}{2!}\dfrac{d^2}{dz^2}\left[\dfrac{3z^{n-1}}{z+0.5}\right]_ {z=0.2}$ : vas y doucement car le calcul n'est pas très simple....
bon courage :wink:
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 13:09

Salut kojak

Je sais pas comemnt débuter la dérivée seconde :?:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 13:17

Tu calcules déjà la dérivée première à l'aide de la formule du produit et non celle du quotient en écrivant $\dfrac{z^{n-1}}{z+0.5}=z^{n-1}\times \dfrac{1}{z+0.5}$ sachant que $\left(\dfrac{1}{z+0.5}\right)'=\ldots$ car c'est plus simple car sinon le degré du dénominateur va vite monter....
Et ensuite, tu redériveras toujours comme un produit......
PS : si tu préfères dériver comme un quotient, avant de redériver, simplifie alors le numérateur....

PS : tu me fais bosser aussi : c'est dimanche aujourd'hui :wink:
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 13:20

Salut kojak

C'est dimanche aujourd'hui c'est exact, je sais pas pourquoi mais je suis motivé ce jour, je pense que c'est l'examen qui approche :wink:

Tu n'est pas obligé de bosser :roll:

Avec les dérivée çà va me prendre l'apres midi :wink:

Ma calculette indique que $\dfrac{3}{0,34}^=8.82$:?: et pas 8.746 :!: :!:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 13:28

celtic a écrit:C'est dimanche aujourd'hui c'est exact, je sais pas pourquoi mais je suis motivé ce jour, je pense que c'est l'examen qui approche :wink:
Ben c'est bien : en tout cas, tu me parait très motivé :wink:
celtic a écrit:Tu n'est pas obligé de bosser :roll:
Oh, t'inquiète pas :lol:
celtic a écrit:Avec les dérivée çà va me prendre l'apres midi
comme ça j'suis tranquille pour un bout de temps :lol:
Amuse toi bien alors :wink:
celtic a écrit:Ma calculette indique que $\dfrac{3}{0,34}^=8.82$:?: et pas 8.746 :!: :!:
oui mais moi je garde $0.7^3=0.343$ : n'arrondis qu'à la fin de tes calculs car sinon tu cumules les erreurs d'arrondis.
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 14:11

Bon faut y aller

$\dfrac{d^2}{dz}3z^{n-1}\times \dfrac{1}{z+0,5}=\dfrac{d}{dz}\dfrac{3(n-1)z^{n-2}}{z+0,5}-\dfrac{3.z^{n-1}}{(z+0,5)^2}$


$=\dfrac{3(n-2)(n-2)z^{n-3}}{z+0,5}-\dfrac{3(n-1)z^{n-2}}{(z+0,5)^2}-\dfrac{3(n-1)z^{n-2}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{3z^{n-1}}{(z+0,5)^4}$

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{1}{2}[\dfrac{3(n-2)^2z^{n-3}}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z^{n-2}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{3z^{n-1}}{(z+0,5)^4}]_{z=0,2}$
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 14:26

Dérivée première : correct..
celtic a écrit:$=\dfrac{3(n-2)(n-2)z^{n-3}}{z+0,5}$
le numérateur est $3(n-1)(n-2)z^{n-3}$
Ensuite les termes du milieu sont corrects...
celtic a écrit:$\dfrac{3z^{n-1}}{(z+0,5)^4}$
non : $\left(\dfrac{1}{u^2}\right)'=(u^{-2})'=-2u^{-3}=\dfrac{-2}{u^3}$ dommage :wink:
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 14:38

Exact

ce n'est pas le carré c'est juste $+1$

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{1}{2}[\dfrac{3(n-2)^2z^{n-3}}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z^{n-2}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{6z^{n-1}}{(z+0,5)^3}]_{z=0,2}$
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 14:39

Exact

ce n'est pas le carré c'est juste $+1$

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{1}{2}[\dfrac{3(n-2)^2z^{n-3}}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z^{n-2}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{6z^{n-1}}{(z+0,5)^3}]_{z=0,2}$
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 14:44

Oui, c'est bon mais tu n'as pas corrigé le premier terme c'est $\dfrac{3(n-1)(n-2)z^{n-3}}{z+0.5}$ : car il provient de la dérivée de $\dfrac{3(n-1)z^{n-2}}{z+0.5}$...
Ensuite je te conseillerais de mettre en facteur le $z^{n-3}$ ou à la fin le $(0.2)^{n-3}$ pour avoir une jolie formule :wink:
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 15:11

Le fait de passeer d'un exo à l'autre j'ai tendance à mélanger mais bon çà fait muscler les neurones :wink:
et c'est plus facile sue une feuille je trouve :?:

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{1}{2}[\dfrac{3(n-2)(n-1)z^{n-3}}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z^{n-2}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{6z^{n-1}}{(z+0,5)^3}]_{z=0,2}$

$z^2z^{n-1}=z^{(n-3-2)}=z^{n-1}$

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{1}{2}z^{n-3}[\dfrac{3(n-2)(n-1)}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z^{n}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{6z^{n^2}}{(z+0,5)^3}]_{z=0,2}=(\dfrac{4,.32}{0,7}-\dfrac{4,8}{0,7}0,2^n+\dfrac{6}{0,7}0,2^{n^2})0,2^{n-3}$
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 15:19

celtic a écrit:$z^2z^{n-1}=z^{(n-3-2)}=z^{n-1}$
t'as glissé : $z^2z^{n-3}=z^{(n-3+2)}=z^{n-1}$
celtic a écrit:$=\dfrac{1}{2}z^{n-3}[\dfrac{3(n-2)(n-1)}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z^{n}}{(z+0,5)^2}+\dfrac{6z^{n^2}}{(z+0,5)^3}]_{z=0,2}=$

c'est $=\dfrac{1}{2}z^{n-3}\left[\dfrac{3(n-2)(n-1)}{z+0,5}-\dfrac{6(n-1)z}{(z+0,5)^2}+\dfrac{6z^2}{(z+0,5)^3}\right]_{z=0,2}$
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