Inversion de la TZ pole complexe

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Inversion de la TZ pole complexe

Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 13:06

Bonjour


$X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{z^2-0,6z+0,36}$


$X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{(z-0,3)^2-0,27}$


Etape 1 les degrées


Ici$d=2-1=1$

Le premier écantillon non nulle est$x_1$

Etape 2 Equation caractéristique


Ici pour n>1 on a un pole complexe $z=e^{j}$

On a une série de la forme d'un cosinus

Je sais pas comment déterminer les poles :?:
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Re: Inversion de la TZ pole complexe

Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 13:42

celtic a écrit:Le premier écantillon non nulle est$x_1$
OK....

Ici pour n>1 on a un pole complexe $z=e^{j}$
non : ici tu as 2 poles complexes conjugués : résous l'équation caratéristique $z^2-0.6z+0.36=0$...
D'ailleurs ceci est égal à $(z-0.3)^2+0.27$ et non $-0.27$ comme tu l'as écrit...
celtic a écrit:On a une série de la forme d'un cosinus
pas tout à fait...
Pour les résidus, tu fais comme dans le cas réel mais avec des résidus complexes et ensuite à la fin, cela doit s'arranger pour revenir avec des réels...
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 14:15

Oui ok

mais comment trouve t'on les pole z= qui ressemble à uen exponentielle :!:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 14:36

Déjà sous forme algébrique, tu trouves combien ?
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 15:38

$X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{(z-0,3)^2+0,27}$


$z^2-6z+0,36=0$

$z(z-0,6)=-0,36$

$z=-0,36$

$z=-0.3+0.6=0.3$

nos 2 poles sont $z=-0.36$ et $z=0.3$
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 15:43

Gloupss : je me suis étranglé :shock:
T'as de drôle de façon de résoudre une équation du second degré :?:
Je crois que t'es en train de faire une jolie salade bretonne :wink:
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 16:09

On oublie vite
:oops:

J'utilise les discriminants

$\delta=b^2-4ac=34,56$

$z=-0.06$

$z_1=-5.94$
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Messagepar Le_golbarg » Dimanche 20 Mai 2007, 16:11

c'est $b^2-4ac$....
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 16:20

celtic a écrit:$\delta=b^2-4ac=34,56$
euh, non :$\delta=(-0.6)^2-4\times 1\times 0.36=-1.08=-\dfrac{108}{100}$ afin de simplifier la racine carrée...
[Edit Kojak : au fait c'est plus simple de faire comme tu avais écrit $(z-0.3)^2+0.27=0$ car cela te donne $(z-0.3)^2=-0.27$ ensuite quel complexe a pour carré $-0.27$ etc...]
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 16:24

J'ai fait $b=6$ :oops:

Mais là on ne vas pas trouver le signal sous une forme d'exponentielle :?:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 16:29

celtic a écrit:Mais là on ne vas pas trouver le signal sous une forme d'exponentielle :?:
tu vas obtenir un signal similaire à celui que tu avais pour la transformée de Laplace avec des poles complexes conjugués....
Ici ce n'est pas tout à fait une exponentielle mais du type $0.6^n(C_1 \cos n\alpha+C_2\sin n\beta)$
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 16:35

Kojak a écrit:[Edit Kojak : au fait c'est plus simple de faire comme tu avais écrit $(z-0.3)^2+0.27=0$ car cela te donne $(z-0.3)^2=-0.27$ ensuite quel complexe a pour carré $-0.27$ etc...]


je saiis pas mais je suppose qu'il faut passer par les arguments :?:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 16:41

Mais si tu sais....
$-0.27=-\dfrac{27}{100}$ et $\dfrac{27}{100}=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{10}\right)^2$
donc $-0.27$ est le carré de $-j\dfrac{3\sqrt{3}}{10}$
donc tu as $z=0.3\pm-j\dfrac{3\sqrt{3}}{10}=\dfrac{3}{10}-j\dfrac{3\sqrt{3}}{10}$ : ensuite tu cherches module et argument de ces 2 complexes : une fois que t'as fait pour un, tu as pour l'autre car ces 2 complexes sont conjugués...etc...
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 16:54

Ok merci pour tout :clapping:

J'en ai pour la soirée à remettre tout çà au propre :wink:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 16:58

celtic a écrit:Ok merci pour tout :clapping:
De rien :wink:
et à plus tard :D
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Messagepar celtic » Lundi 21 Mai 2007, 19:18

Bonsoir Kojak

$z=0.3+j\dfrac{3\sqrt{3}}{10}$ et $z=0.3-j\dfrac{3\sqrt{3}}{10}$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=0,6$

$\theta=tg\frac{b}{a}=tg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$

$z=0,6e^{+/-j\frac{\pi}{3}}$

Maintenant on a 2 possibilités pour faire les calculs soit sous formes algébiques soit sous forme d'exponentielle imaginaire

$X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{(z-0,3)^2+0,27}$


ou $X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{(z+0,6e^{j\frac{\pi}{3}})(z-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}$ je pense que c'est plus simple par les exponentielles

Résidus en $z=0,6e^{j\frac{\pi}{3}}$

$X_{(z)}z^{n-1}=\left[\dfrac{(3z+2)z^{n-1}}{(z-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}\right]_{z=0,6e^{j\frac{\pi}{3}$
Dernière édition par celtic le Lundi 21 Mai 2007, 19:51, édité 2 fois.
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Messagepar kojak » Lundi 21 Mai 2007, 19:46

Salut Celtic,
celtic a écrit:$X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{(z+0,6e^{j\frac{\pi}{3}})(z-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}$ je pense que c'est plus simple par les exponentielles

Exact... donc il n'y a plus qu'à faire le calcul de résidus :wink:
A tchao
bonsoir.
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Messagepar celtic » Lundi 21 Mai 2007, 20:19

Résidus en $z=0,6e^{j\frac{\pi}{3}}$

$X_{(z)}z^{n-1}=\left[\dfrac{(3z+2)z^{n-1}}{(z-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}\right]_{z=0,6 e^{j\frac{\pi}{3}$

$X_{(z)}z^{n-1}=\left[\dfrac{(1,8 e^{j\frac{\pi}{3}}+2) 0,6e^{j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(0,6 e^{j\frac{\pi}{3}} -0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}\right]=\left[0,6^{n-1}\dfrac{(1,8 e^{j\frac{\pi}{3}}+2)e^{j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(0,6.2j\sin \frac{\pi}{3})}\right]=0,6^{n-1}\dfrac{(1,8 e^{j\frac{n\pi}{3}}+2e^{j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(0,6.2j\sqrt{3})}$

$0,6^{n-1}\dfrac{(1,8 e^{j\frac{n\pi}{3}}+2e^{j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(0,6.2j\sqrt{3})}$

et pour l'autre Résidus en $z=-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}}$
$0,6^{n-1}\dfrac{(1,8 e^{-j\frac{n\pi}{3}}+2e^{-j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(-0,6.2j\sqrt{3})}$

$xn=0,6^{n-1}\left[\dfrac{(1,8 e^{j\frac{n\pi}{3}}+2e^{j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(0,6.2j\sqrt{3})}-\dfrac{(1,8 e^{-j\frac{n\pi}{3}}+2e^{-j(n-1)\frac{\pi}{3}}}{(0,6.2j\sqrt{3})}\right]=0,6^{n-1}\left[\dfrac{1.8\sin n\frac{\pi}{3}+2\sin (n-1)\frac{\pi}{3}}{0.6\sqrt{3}}\right]$
celtic
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Messagepar kojak » Mardi 22 Mai 2007, 10:36

Salut Celtic,

Cela me semble tout à fait correct :clapping:
Si tu veux encore simplifier, tu peux "développer" le $\sin (n-1)\dfrac{\pi}{3}$ à l'aide des formules de trigo pour avoir des $\sin\dfrac{n\pi}{3}$ et des $\cos\dfrac{n\pi}{3}$ pour faire plus joli....
PS : ceci n'est valable que pour $n\geq 1$.
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Messagepar celtic » Dimanche 27 Mai 2007, 12:28

Bonjour Kojak

celtic a écrit:$X_{(z)}=\dfrac{3z+2}{(z+0,6e^{j\frac{\pi}{3}})(z-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}$


pourquoi les résidus ne sont pas $z=0,6e^{-j\frac{\pi}{3}})}$

et $z=-0,6e^{j\frac{\pi}{3}})}$ :?:
Dernière édition par celtic le Dimanche 27 Mai 2007, 12:53, édité 1 fois.
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