Inversion de la TZ pole complexe exo3

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Inversion de la TZ pole complexe exo3

Messagepar celtic » Mardi 22 Mai 2007, 16:59

Bonjour


$X_{[z]}=\dfrac{1}{(z-0,2)(z^2-0,6z+0,36)}$


Ici on a un degré=3-0

le premier échantillon non nul est $x(-3)$

Equation caractéristique

On a un pole simple $z=0,2$ et un pole complexe $z=0,6e^{+/-j\frac{\pi}{3}}$

On a donc un signal de forme $c_1(0,2^)^n+(C_2\sin n\pi+C_3 \cos n\pi)$
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Re: Inversion de la TZ pole complexe exo3

Messagepar kojak » Mardi 22 Mai 2007, 17:04

celtic a écrit:
le premier échantillon non nul est $x(-3)$
attention c'est $x(3)$
celtic a écrit:On a un pole simple $z=0,2$ et un pole complexe $z=0,6e^{+/-j\frac{\pi}{3}}$
oui...
celtic a écrit:On a donc un signal de forme $c_1(0,2^)^n+(C_2\sin n\pi+C_3 \cos n\pi)$
pas tout à fait mais
$c_1(0,2^)^n+(0.6)^n\left(C_2\sin n\dfrac{\pi}{3}+C_3 \cos n\dfrac{\pi}{3}\right)$
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Messagepar celtic » Mardi 22 Mai 2007, 17:13

Oui exact j'ai oublié le coefficient

Residus en$z=0,2$

$X_{(z)}z^{n-1}=\left[\dfrac{z^{n-1}}{z^2-0,6z+0,36}\right]_{z=0,2}=3,57(0,2)^{n-1}$

Résidus en $z=0,6e^{j\frac{\pi}{3}}$

$X_{(z)}z^{n-1)}=\left[\dfrac{z^{n-1}}{(z-0,2)(z+0,6e^{j\frac{\pi}{3}}}\right]_{z=0,6e^{j\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{(0,6)e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}}{(0,6e^{j\frac{\pi}{3}}-0,2)(1,2e^{j\frac{\pi}{3}})}$

$=\dfrac{(0,6)e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}}-0,2)}}{(0,6e^{j\frac{\pi}{3}}-0,2)(-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}}-0,2})(1,2e^{j\frac{\pi}{3}})}$
Dernière édition par celtic le Mardi 22 Mai 2007, 17:47, édité 1 fois.
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Messagepar kojak » Mardi 22 Mai 2007, 17:44

Ok, pour l'instant c'est correct sauf que t'as oublié de mettre la puissance sur le $0.6$ c'est $0.6^{n-1}$ au numérateur pour le résidu..
Maintenant même chose pour le résidu complexe conjugué...
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Messagepar celtic » Mardi 22 Mai 2007, 17:50

$X_{(z)}z^{n-1)}=\left[\dfrac{z^{n-1}}{(z-0,2)(z+0,6e^{j\frac{\pi}{3}}}\right]_{z=0,6e^{j\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}}{(0,6e^{j\frac{\pi}{3}}-0,2)(1,2e^{j\frac{\pi}{3}})}$

$=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}}-0,2)}{(0,6e^{j\frac{\pi}{3}}-0,2)(-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}}-0,2)(1,2e^{j\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(-0,6e^{-j\frac{\pi}{3}}-0,2)}{(0,6)^2+e^{2j\frac{\pi}{3}}(1,2e^{j\frac{\pi}{3}})}$

Je sais pas trop comment réduire le dénominateur :?:
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Messagepar kojak » Mardi 22 Mai 2007, 18:12

Moi je passerais sous forme algébrique ceci :$0.6e^{j\frac{\pi}{3}}-0.2=0.1(1+3j\sqrt{3})$ et ensuite multiplier par l'expression conjuguée de façon à ne plus avoir de complexe au dénominateur sachant que $\dfrac{1}{e^{j\frac{\pi}{3}}}=e^{-j\frac{\pi}{3}}$
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Messagepar celtic » Mardi 22 Mai 2007, 18:39

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(1-3j\sqrt{3})e^{-j\frac{\pi}{3}}}{0.12(1+3j\sqrt{3})(1-3j\sqrt{3})}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(1-3j\sqrt{3})e^{-j\frac{\pi}{3}}}{3,36}$

$=0,6^{n-1}\dfrac{e^{j(n-1)\frac{\pi}{3}}e^{-j\frac{\pi}{3}}(1+3\sqrt{3})}{3,36}=0,6^{n-1}\dfrac{(e^{jn\frac{\pi}{3}}-e^{-j\frac{\pi}{3}})e^{-j\frac{\pi}{3}}(1+3\sqrt{3})}{3,36}$
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Messagepar kojak » Mardi 22 Mai 2007, 19:17

J'ai repris tes calculs et il y a une erreur dans ton post de 18h13 :roll:
Au dénominateur ce n'est pas $1.2e^{j\frac{\pi}{3}}$ mais $2j\sqrt{3}$ car tu as $0.6e^{j\frac{\pi}{3}}-0.6e^{-j\frac{\pi}{3}}=2j\sin\dfrac{\pi}{3}$ désolé :oops:
donc faut reprendre en partie ton calcul....
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Messagepar celtic » Mardi 22 Mai 2007, 19:26

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(1-3j\sqrt{3})}{0.2\sqrt{3}(1+3j\sqrt{3})(1-3j\sqrt{3})}$

Je part de là :?:
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Messagepar kojak » Mardi 22 Mai 2007, 19:47

celtic a écrit:Je part de là :?:

Oui, sans oublier le $j$ au dénominateur....

A tchao
bonsoir...
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Messagepar celtic » Mercredi 23 Mai 2007, 16:59

Salut kojak

$X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(1-3j\sqrt{3})}{0.2j\sqrt{3}(1+3j\sqrt{3})(1-3j\sqrt{3})}X_{(z)}z^{n-1}=\dfrac{(0,6)^{n-1}e^{j\frac{\pi}{3}(n-1)}(1-3j\sqrt{3})}{9,7j}$
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Messagepar kojak » Mercredi 23 Mai 2007, 17:12

Salut Celtic,
Je dirais correct mais je laisserais pour l'instant au dénominateur $5.6\sqrt{3}$ et seulement tout à la fin je prendrais des valeurs approchées...
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Messagepar celtic » Mercredi 23 Mai 2007, 17:27

Je met trop de temps à résoudre cet exo, je préfére réviser je reviendrais plus tard dessus, comme le prof explique dans l'énoncé que les calculs ne sont pas important à faire sur papier et que les logiciels le font

A+ :wink:
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Messagepar kojak » Mercredi 23 Mai 2007, 19:10

Oui c'est vrai : mon collègue de Physique appliquée le fait avec Scilab.... qui est en libre :wink:
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